Mathematical Preparation-Homology Group

这个专栏的序言：

我们应用拓扑学的目的是什么？凝聚态物理中，我们知道即使是同一个材料，当实验上调节一些外参数时，材料可能存在不同类型的物相，不同类型的物相之间不可以绝热地转换，也就是常说的鲁棒性。拓扑的作用就是对这些物相进行分类—量化地分类（毕竟我们需要有实实在在的东西能算出来，不能说苹果一类，香蕉一类，那是因为苹果香蕉太好辨认了）。这就引出若干个重要的问题：我们的分类对象是什么？分类标准是什么？确定对象和标准之后具体如何分类？回答这三个问题，我认为可以看做拓扑凝聚态的核心任务。

第一个问题，你可能会说，分量对象就是具体的物理相。没错，但是这种说法没有实践意义，我们需要提炼出数学描述才可以“计算”出实实在在的东西。实际上，当从物理问题中抽象出数学描述之后，我们发现无非两种情况。物理学家唯一会的运算是微积分，因此让我们关心一个积分。一个积分由两部分组成—积分区域（我们管它叫做base manifold或者空间）和被积函数（函数就是一个映射），因此我们需要分类的对象只有两种——空间本身和空间上的映射。在凝聚态中，空间本身相对来说比较固定，常常是布里渊区（能带拓扑），或者是实空间（拓扑缺陷）。

第二个问题，分类标准是什么—是群。群描述对称性，对称性是在变化下的不变性。如果在拓扑的语境下，可以认为拓扑就是研究在“拉、扯、扭、伸缩”下的不变性。因为如果将传统的对称性的概念扩展，很自然地，群论的数学语言是描述拓扑不变性的天然工具。而群又如何与分量标准挂钩？实际上，以后会发现，这些群基本上是整数群，或者其他数域的群。那么我们可以往凝聚态水果店里摆上一些箱子，用一个整数或者其他什么数，对箱子编号，再把苹果香蕉放进我们的“分类机器”，这个机器输出一个数，我们就把苹果香蕉放进那个对于编号的箱子里。

第三个问题，那就是这个专栏的核心了—介绍具体如何实现这个分类的目标

如前所述，分类对象包括空间和映射，这一章介绍对空间进行分类的数学工具—同调群。

后几章还会介绍对映射的分类—同伦群，以及同调群的某种对偶—上同调群（用以对form进行分类，也可以理解为对被积函数的分类）

需要的前置知识：线性代数、群论（只需要知道什么是群）、一点点的微分几何基础（知道什么是manifold、tangent space、n-form即可）

警告：没有抽象代数基础的可能会觉得抽象，我觉得唯一的方法是“慢”，一点一点梳理结构，并且善用图示。我的介绍基本上遵循Nakahara的著名教材，并且遵循“没用的不讲原则”。这本书已经是面向物理人写的，相对来说好懂很多，但不可避免仍然是“定义、证明（我几乎去掉了所有证明）、定理、引理、例子”的顺序。

也可以选择跳过数学准备，但是在正文中不可避免地会看不懂一些数学描述。如果只是想知道一些基本模型和物理图像，这未尝不是一种高效做法。