其实就是个二次函数（2021全国乙理，11）

2023-01-04 17:51 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2021全国乙理，11）设 $B$ 是椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%5Cleqslant%202b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A. $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%2C1%20%5Cright)%20$

B. $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C1%20%5Cright)%20$

C. $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$

D. $%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%5D%20$

解：设 $P$ 的坐标为 $%5Cleft(x_0%2Cy_0%5Cright)$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20PB%20%5Cright%7C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20x_0-0%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20y_0-b%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7Ba%5E2%5Cleft(%201-%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright)%20%2By_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2by_0%2Bb%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7B%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%5Ccdot%20y_%7B0%7D%5E%7B2%7D-2b%5Ccdot%20y_0%2Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$