【googology】递增元序列IUN（中，3.375难度）

2023-03-06 12:07 作者:3183丶4139 0人读过 | 我要投稿

递增元序列 (Increase Unit Notation)，简称IUN，是我第一个完全原创的较为强大的记号。

本文约11000字，大部分内容是分析大小，讲原理的部分相对不复杂，但难度同样不低。

目录：
1：概念与定义
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ₀
4：序列中的ψ外壳
5：解锁反射序数记号
6：IUN的极限
7：历史和扩展

本文分为上中下三个部分，本部分为中，包含“序列中的ψ外壳”、M之前的“解锁反射序数记号”两个内容。

4：序列中的ψ外壳

1,2,2,3之后，整个序列复杂了很多，如果提前告诉你1,2,2,3,1,2,2,2,3就是BHO你可能不敢相信，同时前面也有不少规则需要更改。

首先，1,2,2,3,1,1,2,2,3等于什么？待坏项是“2”，整个序列中没有单独的“2”作为后继元，所以坏根是首项？不。待坏项，它也是一个后继元，也可以有自己的待坏项。待坏项的待坏项称为二阶待坏项，后面也有更高阶的待坏项。
对于任何后继元，高阶待坏项的终点一定是“1”。从1,2,2,3,1,1,2,2,3出发，一阶待坏项是“2”，二阶待坏项则是“1”。所以在序列中，不仅可以找一阶待坏项，也可以找二阶待坏项，即1,2,2,3,1,1,2,2,3。现在结论很简单了，坏根是这个1的下一项，1,2,2,3,1,1,2,2,3=1,2,2,3,1,1,2,2 2,3,3 3,4,4 4,5,5,...。这个式子就是 $%CE%93_02$

1,2,2,3之后IUN的强度迅速增加，从这个表达式就可以看出：1,2,2,3,1,2,1,2,2,3。2,3，待坏项是“2”和“1”，但是整个表达式中也没有这样的待坏项，因此坏根是首项。所以1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，展开式是1,2,2,3,1,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,3,4,4,...，这里出现了1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4，它等于1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...，是 $%CF%89%5E%7B%CE%93_02%7D$

在1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4后面加上1,2,2,3之前的结构，才有1,2,2,3之前的那些特征：
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3= $%CE%B5_%7B%CE%93_0%2B1%7D$
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3=    $%CF%86(%CF%89%2C%CE%93_0%2B1)$
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,4=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,...相当于把 $%CE%93_0$ 嵌套到了 $%CE%93_0$ 结构，也就是 $%CF%86(%CE%93_0%2C1)$
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2是 $%CF%86(%CE%93_0%2C%CF%89)$ 。
1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3=1,2,2,3,1,2,1,2,2,2, 3,3,4,2,2,3,3,4,2,2,3,3,4,2,...= $%CF%86(%CE%93_0%2B1%2C0)$ 。
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5=    $%CF%86(%CE%93_02%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,2,3,3,3,4,4,5,2,3,3,3,4= $%CF%86(%CE%B5_%7B%CE%93_0%2B1%7D%2C0)$
1,2,2,3,1,2,1,2,2,3，看起来像Γ₀²，实际上已经是 $%7B%CE%93_1%7D$ 了。
    1,2,2,3,1,2,2= $%7B%CE%93_%CF%89%7D$

现在又出现了一种新的情况：1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3。末后继元2,3的待坏项是“2”，整个序列中是有“2”这个后继元，但是把它的下一项作为坏根，相当于展开末尾的1,2,2,3，与前面的1,2,2,3,1,2,1,2,2,3差别相当大。

现在，要加一个要求：在待坏项与末项不在同一个递增元时，待坏项的递增元位差不能低于末递增元差。末递增元差是指最后一个递增元的末项减首项；待坏项的递增元位差则指“待坏项的末项减去待坏项所在递增元的首项”。
所以，1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3，这个待坏项的递增元位差是2-1=1，而末递增元差是3-1=2；因为2>1，所以不能选取这个待坏项，那么坏根就只能是首项了。

    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,3,4,4,...
    根据1,2,2,3,1,2,2= $%7B%CE%93_%CF%89%7D$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3= $%7B%CE%93_%7B%CE%B5_0%7D%7D$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,2,3,3,4= $%CE%93_%7B%CE%93_0%7D$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3是 $%CF%86(1%2C1%2C0)$

    后面的序列分析起来就不算难了：
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3= $%7B%CE%93_%7B%CF%86(1%2C1%2C0)%2B1%7D%7D$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C1%2C1)$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2= $%CF%86(1%2C1%2C%CF%89)$
1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C2%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%86(1%2C%CF%89%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C0%2C0)$
    每次出现ω的时候，后面加上一个1,2,2,3表示给ω嵌套φ函数ω次
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2= $%CF%86(2%2C0%2C%CF%89)$
   1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C1%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%86(2%2C%CF%89%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(3%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%86(%CF%89%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C0%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C0%2C1%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C1%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(2%2C0%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2=    $%CF%86(%CF%89%2C0%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%86(1%2C0%2C0%2C0%2C0)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,2= $%CF%86(1%40%CF%89)$ ，也就是SVO

TREE(3)下界的FGH序数是1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,3
1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3是LVO

    停。现在换一种表述方式，用Buchholz's OCF来描述，一切就变得直观多了。
    1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9)$
1,2,2,3,1,2,1,2,2,2,3,3,4,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9%2B%CE%A9%5E%7B%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9)%7D%CF%89)$
1,2,2,3,1,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A92)$ ，可以发现用1,2做分隔，表示了在ψ里面加起来
    1,2,2,3,1,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%CE%A9%CF%89)$
    1,2,2,3,1,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%2B1%7D)$ ，没错，1,2,2,3就是OCF里面的Ω
    1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%2B%CF%89%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A92%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%CF%89%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3,1,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E2%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,2= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E%CF%89%7D)$
1,2,2,3,1,2,2,2,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9%5E%7B%CE%A9%5E%CE%A9%7D)$

在1,2,2,3的后面，紧跟的东西就是在ψ里对Ω的运算，这样下来，1,2,2,3,1,2,2,2,3是BHO就显得合理了。

    在OCF中，1,2,2,3之后，1,2,2,X实质上就是ψ(X)；也就是说，1,2,2,3之后发生的变化，是给序列套上了一个ψ外壳。
    1,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9%2B1%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9%2B2%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,3,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A92%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,3,2= $%CF%88(%CE%B6_%7B%CE%A9%2B1%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,2,3,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%CF%89)$
    在Ω₂面前，1,2,2,3逐渐显得无力
    1,2,2,3,1,2,2,2,3,3,4,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88(%CE%A9_2)%7D)$
    1,2,2,3,1,2,2,3=1,2,2,3,1,2,2 2,3,3,4,2,3,3 3,4,4,5,3,4,4,...= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%CE%A9)$
    1,2,2,3,2= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9%CF%89%7D)$
    1,2,2,3,2,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9%5E2%7D)$
    1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2)%7D)$
    1,2,2,3,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,4,5=    $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2)%7D)%7D)$
    1,2,2,3,3= $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D)$

    1,2,2,3,3出现了。现在，原本充当Ω的1,2,2,3，现在该用来表示ψ₁了。
    1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,2,3,3,4,4,2，等于    $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D%2B%CE%A9_2%5E%7B%CF%88_1(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D)%7D%CF%89)$
    1,2,2,3,3,1,2,1,2,2,3,3，就可以顺利成为 $%CF%88(%CE%A9_2%5E%7B%CE%A9_2%7D2)$
    有了ψ₁的铺垫，1,2,2,3,3,1,2,2,2,3和1,2,2,3,1,2,2,2,3类似，可以到达 $%CF%88(%CE%B5_%7B%CE%A9_2%2B1%7D)$
    1,2,2,3,3,3， $%CF%88(%CE%A9_3%5E%7B%CE%A9_3%7D)$ ，同样地，1,2,2,3,3会表示ψ₂
    现在结果很明显了，1,2,2,3,3,3,4=1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,...，是BO， $%CF%88(%CE%A9_%CF%89)$

1,2,2,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%CE%A9)$ ，1,2,2,3,3,4,4,5= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A9_%CE%A9%7D)$ ，...

1,2,3=1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,...，达到OFP，即 $%CF%88(%CF%88_I(I))$ 。

5：解锁反射序数记号

    在1,2,3之后，序列的结构越来越复杂，同时IUN的最后一个规定出现。
    1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，末后继元是5，待坏项是“4”，序列中显然没有单独的“1”“2”“3”或“4”，不过这里的坏根依然不是首项。前面提到“找两个相同后继元的展开方式称为等差展开”，为什么叫“等差展开”？就是因为这两个后继元可以是不相同的，是等差的也可以；这个所谓的等差，指的是：两个后继元的首项与整个序列的末项-1成等差数列，同时两个后继元的项一一对应的差是相等的。
    看向1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5，2,3,4和3,4,5，这两个后继元是等差的，同时其首项2,3也和最后一项-1成等差，因此其中的后一个后继元的首项是坏根，即1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,5=1,2,3,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,...

另外，这两个等差的后继元中，后一个后继元可以不是完整的后继元，但这种情况只能是与末项组成完整的后继元，如1,2,3,3,4,4,5,6=1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,...

    在使用I分析之前，可以先用相对简单的Φ函数。 $%CE%A6(n)%3D%CE%A9_n$ ， $%CE%A6$ 其余的规则与 $%CF%86$ 相同。
    1,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0))%3D%CF%88(I)$
1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0))%5E2$
1,2,3,1,2,1,2,2,2,3,4,1,2,2,2,3=    $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%2B%CE%A9)$
  1,2,3,1,2,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%2B%CE%A9%5E%CE%A9)$
    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)2)$
    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%CF%89)$
1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A6(1%2C0)%5E2)$
1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%2B1%7D)$
1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)2%7D)$
1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5= $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%5E2%7D)$
    1,2,3,1,2,1,2,2,3,4,2,3,2,3,3,4,5,2,3,3,3,4=    $%CF%88(%CE%A9_%7B%CE%A9_%7B%CE%A6(1%2C0)%2B1%7D%7D)$
1,2,3,1,2,1,2,3= $%CF%88(%CE%A6(1%2C1))$ = $%CF%88(I2)$
1,2,3,1,2,2= $%CF%88(I%CF%89)$
1,2,3,1,2,2,1,2,3= $%CF%88(I%5E2)$
1,2,3,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B1%7D)$
1,2,3,1,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B1%7D%5E%CE%A9)$ 参考1,2,2,3,1,2,2,3
1,2,3,1,2,2,3,3,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7BI%2B%CF%89%7D)$
1,2,3,1,2,2,3,4= $%CF%88(%CE%A9_%7BI2%7D)$
1,2,3,1,2,3= $%CF%88(I_2)$
1,2,3,2= $%CF%88(I_%7B%CF%89%7D)$
1,2,3,2,3,= $%CF%88(I_%7B%CE%A9%7D)$
1,2,3,2,3,2,3,4= $%CF%88(I_%7BI%7D)$
1,2,3,2,3,3= $%CF%88(I(1%2C0))$
1,2,3,2,3,3,3= $%CF%88(I(2%2C0))$
1,2,3,2,3,3,4,5= $%CF%88(I(I%2C0))$
1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(1%2C0%2C0))$