看奧數國一保送生如何高效做完一份高考數學試卷（連講帶做）

第10题的BD选项实际是数学归纳法递推证明数列有界的结论。

根据题意，2aₙ²-3aₙ=aₙ₋₁ (n≥2). 如果存在一个正数k使得第n-1项aₙ₋₁≥(≤)k，则2aₙ²-3aₙ=aₙ₋₁≥(≤)k，解得aₙ≥(≤)(3+√(9+8k))/4。如果想要证明下一项aₙ≥(≤)k，只需(3+√(9+8k))/4≥(≤)k即可，解得0<k≤2(≥2)。

所以，对于B选项，当求得a₂=(3+√17)/4之后，可以验证得2^{3/4}<a₂<2，根据上面的递推可知对所有n≥2，aₙ都在这个范围里。B对

对于D选项，不等号右端是关于n的一次函数，它可以看作（从某项开始为）常数数列的求和。由于a₁=3，考虑提出一个3出来，于是有3(3n+1)/4=3+(9/4)(n-1)，即这是第一项为3，后面所有项都是9/4的数列的和。但当a₁=3时，a₂=(3+√33)/4<9/4，根据上面的归纳，n≥2时均有aₙ<9/4。所以Sₙ≤3+(9/4)(n-1)=3(3n+1)/4。D错

15题评论区也有人指出了可以用几何法。考虑到数量积的条件里有a-b，要求的也是关于a-b的量，可以将2a+b作拆分：2a+b=3a-(a-b)，于是题目条件变为①|3a-(a-b)|=1，②3a·(a-b)=3，①式平方后将②代入解得③|a-b|²=7-(3a)²。注意到3a, a-b和3a-(a-b)三个向量构成三角形，用两边之和大于第三边可以解出|a|需要满足的条件，代回③即可。