很水的数学分析088：Abel第二定理和Tauber定理

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1.继续探索Abel第二定理。

①端点单侧连续意味着端点极限可直接代入求，或者反过来，由极限值得知函数值。

②能够证明Abel第二定理跟收敛半径无关。

③结合①②得出，可以通过求lim(x→1-)∑anxⁿ得到∑an。【重要前提：∑an收敛】。

由此说明Abel第二定理的重要作用：求数项级数收敛于何值。

④ ③等于说，Abel第二定理可以被简化成：若∑an=A，则lim(x→1-)∑anxⁿ=A

⑤但其逆命题不一定成立。即“若lim(x→1-)∑anxⁿ=A，则∑an=A”不一定对。

问：何时逆命题成立？从而引出：

2.Tauber定理。

①来源：猜测an=o(1/n)时Abel第二定理逆命题成立。

②证明要点：

（ⅰ）常用套路1：要证明an→a，总是转为证明an-a→0，证明无穷小通常方式是裂项、让每一项都→0。

（ⅱ）常用套路2：把级数拆成前N项和跟后面项的和，前N项和可以跟其他级数前N项和合并。

（ⅲ）an=o(1/n)：nan→0

（ⅳ）利用x＜1放缩

（ⅴ）借用上极限第三定义套路，构造递减数列｛δn｝

（ⅵ）让x跟N相关联，使得N→∞时，x→1-，且都同一到δN上（能做到恰好符合）

③条件可进一步减弱为an=O(1/n)

④进一步探索见下节课

3.｛an｝非负，则Abel第二定理逆定理也成立。