Strongart数学笔记：关于小Abel范畴的嵌入定理

    Freyd-Mitchell嵌入定理告诉我们，小Abel范畴可嵌入模范畴乃至Abel群范畴，其证明可以写成一本书（见【2】），下面我们简单讨论其基本思路。

    先从Yoneda引理出发，设C是范畴，A∈Ob（C）且记h_A = Hom（A, -），若G：C→Set是共变函子，则存在双射

            Y：Nat（h_A, G）→ G（A）

由Y：τ→τ_A（1_A）给出

    推论，当G=h_B时，有Y：Nat（h_A, h_B）→ Hom（B，A）.

    有的文献上记h_A = Hom（-， A），得到的是反变函子的Yoneda引理。

    由此出发，我们有下面的Yoneda嵌入：设C是小范畴，则存在函子Y：C^op →（Set）^C，它在对象上的单射且其像是（Set）^C的完全子范畴。

    这里小范畴的要求来源于函子范畴的定义，小范畴I到范畴C的函子范畴，其对象是I到C的函子，函子F与G的态射可定义为：

            Hom（F，G）= Π(i∈I) Hom（F（i），G（i））

通常我们要求作为极限的指标是一个集合。

    接下来，设A是小Abel范畴，此时（Set）^A也是Abel范畴。事实上，有Yoneda定理的推论，其Yoneda嵌入的像在取Abel群值的函子范畴（Ab）^A内，它是一个Grothendieck范畴，下面我们补充相关的定义。

    Abel范畴C有下面附加公理：

    AB3：存在（无限）直和（即上积），由于Abel范畴有上核（上等值子），因此它是上完备的。

    AB4：存在直和和直和保持单射，因此直和函子是正合的。

    AB5：存在直和且满足对A∈Ob（C）的任何子集族（A_i）与B∈Ob（C），

             （Σ(i∈I)A_i）∩ B = Σ(i∈I)（A_i ∩ B）

这等价于正向极限的正合性。

    U∈Ob（C）称为范畴C的生成元，若Hom（U，-）是忠实的。有生成元的AB5范畴称为Grothendieck范畴。任何R-模范畴R-mod都是Grothendieck范畴，但模的反向极限可以不是正合的，因此R-模范畴的反范畴（R-mod）^op不满足AB5公理，自然不是Grothendieck范畴。

    可以证明，若C是Abel范畴，小范畴的函子范畴C^I也是Abel范畴，若C还满足公理AB3，AB4，AB5，则函子范畴C^I也满足相应公理。此外，若C有生成元，则C^I也有生成元。

    由此可得，对任何小Abel范畴A，函子范畴（Ab）^A就是Grothendieck范畴。  

    下面我们要说明Grothendieck范畴有内射包，为此先说明它有足够多的内射对象。

    由Gabriel-Popesco定理（见【4】），设U是Grothendieck范畴C的生成元，记R = End（U），则C同构于R-模范畴R-mod的商。这样我们可以从R-mod范畴有足够多内射对象，推出Grothendieck范畴也有足够多的内射对象。

    在Grothendieck范畴中，可以定义包含映射A→B是本性扩张，若对任何B→C，若复合A→B→C是单射，则B→C是单射。

    类似环论情形，我们可以证明（参见【3】与【4】）：

    1） Q是内射的 iff Q没有真本性扩张。

    2）对象A的极大本性扩张就是它的内射包。

    由此可得，在Gothendieck范畴中，对象A有内射包E（A） iff 它有内射扩张。

    综上所述，Grothendieck范畴的任何对象都有内射包。

  

   对小Abel范畴A，我们先用Yoneda引理使其对应的表示函子h_A，然后在有生成元的Grothendieck范畴Ab^A中考虑其内射包E（h_A），就得到了A^op到Ab^A的映射。

    函子F称为单函子（monofunctor），若它把单态射映射为单态射。接下来我们依靠下面两个引理：

    1）Abel范畴到Abel群的内射函子是右正合的。

    2）设函子E是M的本性扩张，若M是单函子，则E也是单函子。

    由引理1）可得，A → E（h_A）是右正合的，而引理2）则得到它还保持单态射，因此它就是正合的嵌入函子。

    这样我们就把小Abel范畴嵌入了Abel群的范畴，这使得我们可以像模范畴一样用元素来处理问题，比如证明蛇形引理等等。

    扩展阅读：

    【1】Rotman J J, Rotman J J. An introduction to homological algebra[M]. New York: Springer, 2009. （同调代数经典参考书，包括大量预备知识，简述了Freyd-Mitchell嵌入定理的证明梗概）

 【2】Freyd P J. Abelian categories[M]. New York: Harper & Row, 1964. （用箭头语言叙述的Abel范畴经典参考书，主要就是证明Freyd-Mitchell嵌入定理）

【3】Mitchell B. Theory of categories[M]. Academic Press, 1965. （早期的范畴论参考书，比较详细的介绍Grothendieck范畴与小Abel范畴的Freyd-Mitchell嵌入定理）

【4】Faith C. Algebra: rings, modules and categories I[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （代数学的小字典，包括Grothendieck范畴，Gabriel-Popesco定理等相关内容）

  【5】Tan Junhan A. The Freyd-Mitchell Embedding Theorem[J]. arXiv e-prints, 2019: arXiv: 1901.08591. （自包含介绍Freyd-Mitchell嵌入定理，可以视为是【2】的小结）