【趣味数学题】向量积

2021-10-23 21:39 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

考虑两个向量 $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Clangle%201%2C2%2C3%5Crangle%20$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20%3D%20%5Clangle%202%2C0%2C-1%5Crangle%20$ 。

题一：计算向量积（cross product） $%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D$ 。

题二：求 $%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D$ 的模长（norm）。然后计算 $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20$ 之间的夹角。

题三：证明向量积 $%20%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D$ 与向量 $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20$ 正交 (orthogonal）。

【题解】

题一

$%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%5Cboldsymbol%7Bi%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7Bj%7D%20%26%20%5Cboldsymbol%7Bk%7D%20%5C%5C%0A1%20%26%202%20%26%203%20%5C%5C%0A2%20%26%200%20%26%20-1%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D$

$%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A2%20%26%203%20%5C%5C%0A0%20%26%20-1%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5Cboldsymbol%7Bi%7D%20-%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A1%20%26%203%20%5C%5C%0A2%20%26%20-1%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5Cboldsymbol%7Bj%7D%20%2B%0A%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A1%20%26%202%20%5C%5C%0A2%20%26%200%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%5Cboldsymbol%7Bk%7D$

$%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%20%5B(2%20%5Ccdot%20-1)%20-%20(3%5Ccdot%200)%5D%5Cboldsymbol%7Bi%7D%20-%20%5B(1%5Ccdot%20-1)%20-%20(3%5Ccdot%202)%5D%5Cboldsymbol%7Bj%7D%20%2B%20%5B(1%20%5Ccdot%200)%20-%20(2%20%5Ccdot%202)%5D%20%5Cboldsymbol%7Bk%7D$

$%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%20-2%5Cboldsymbol%7Bi%7D%20%2B%207%5Cboldsymbol%7Bj%7D%20-%204%5Cboldsymbol%7Bk%7D$

题二

$%5Cboldsymbol%7BA%7D%5Ctimes%20%5Cboldsymbol%7BB%7D$ 的模长（norm）等于 $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20$ 各向量模长产生的平行四边形面积（area of the parallelogram）。

$%7C%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B(-2)%5E2%2B(7)%5E2%2B(-4)%5E2%7D$

$%7C%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B69%7D$

用公式 $%7C%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%7C%20%3D%20%7C%5Cboldsymbol%7BA%7D%7C%20%7C%5Cboldsymbol%7BB%7D%7C%20%5Csin%7B%5Ctheta%7D$ 来计算 $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20$ 之间的夹角 $%5Ctheta$ 。

$%7C%5Cboldsymbol%7BA%7D%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B(1)%5E2%2B(2)%5E2%2B(3)%5E2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B14%7D$

$%7C%5Cboldsymbol%7BB%7D%7C%20%3D%20%5Csqrt%7B(2)%5E2%2B(0)%5E2%2B(-1)%5E2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B5%7D$

$%20%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B69%7D%7D%7B%5Csqrt%7B14%7D%5Csqrt%7B5%7D%7D$

$%5Ctheta%20%3D%5Csin%5E%7B-1%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B69%7D%7D%7B%5Csqrt%7B70%7D%7D%5Cright)%7D$

$%5Ctheta%20%3D%2083.1354%5E%5Ccirc$

题三

用点积（dot product）确认两个向量正交。在三维空间，两个正交向量是平面垂直的。如果点积为零，则两个向量是正交的。这就是物理学的右手定则（right hand rule）的基础。

设 $%20%5Cboldsymbol%7BA%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%20%5Cboldsymbol%7BC%7D%20%3D%20%5Clangle%20-2%2C7%2C-4%5Crangle$ ， $%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Clangle%201%2C2%2C3%5Crangle$ 和 $%5Cboldsymbol%7BB%7D%20%3D%20%5Clangle%202%2C0%2C-1%5Crangle$ 。