卡尔曼滤波：卡尔曼滤波器

2022-11-28 11:14 作者:玛莉真 0人读过 | 我要投稿

卡尔曼滤波的过程可以概括为3个步骤：预测（prediction)，观测（observation)，协调或修正(correction)。

预测即根据系统当前的状态预测系统下一个状态，并且评估预测误差。

接下来，我们在经过一定时间后读取或者说观测系统的状态（系统现在转换到了新状态）。基于数学模型，把读取的信息转换为系统状态。同样，我们要评估观测误差。

下一步是协调两个状态估计（即预测状态和观测状态），并且要考虑两个相关误差的大小。即预测的估计值要根据观测值进行修正。因此，这被称为修正步骤。来自修正步骤的系统状态的协调估计是当前系统状态的最终估计。

这样，我们去到下一个系统状态。然后，重复以上三个步骤继续估计下下个系统状态。卡尔曼滤波就是这样一个重复“预测-->修正”的方法。如下图：

那么是如何修正预测值得的呢？我们可以把对下一个状态的预测值理解为期望的观测值，把这这称为预测观测值（predicted observation）。修正状态在卡尔曼滤波器中表示为：

式子中，实际观测值（actual observation）和预测观测值（predcited observation)的差距称为observation innovation。 $k$ 称为Kalman gain。卡尔曼滤波方法规定了 $k$ 为使得修正状态具有最小的误差方差的值。

卡尔曼还证明了在状态值和观测值的数学模型都是线性的，并且误差来自独立的高斯分布的情况下，该过程是最优的。

接下来看一下卡尔曼滤波步骤的正式规定：

$X_%7Bt%7D$ 表示在时间 $t$ 的状态。注意，状态可以是一个向量，说明这个状态是多维的。在卡尔曼滤波器中，用于预测时间 $t$ 的状态的数学模型是：

$A$ 是一个矩阵， $X_%7Bt%7D$ ， $X_%7Bt-1%7D$ 分别表示在时间 $t$ 和时间 $t-1$ 的状态向量， $%5Cmu%20_%7Bt%7D$ 是误差向量表示模型的不准确性。

$Y_%7Bt%7D$ 表示在时间 $t$ 的观测值（即观测到的状态）。表示为：

在这种情况下，矩阵 $A$ 和 $H$ 是已知的。起初，根据到时间 $t-1$ 为止的状态信息，我们对时间 $t$ 的状态做一个预测，表示为 $%5Chat%7BX%7D%20_%7Bt%7Ct-1%7D%20$ 。预测误差在一维状态的情况下表示为方差，在多维状态的情况中表示为协方差矩阵，用符号 $%5Chat%7BP%7D%20_%7Bt%7Ct-1%7D%20$ 表示。类似地，观测误差在一维状态的情况下表示为方差，在多维状态的情况中表示为协方差矩阵，观测误差用 $R$ 表示。