【种花家务·代数】1-6-07成正比例的量『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第六章比和比例 

§6-7成正比例的量

【】在算术里，我们学习过成正比例的量。现在我们来复习一下。

【】成正比例的量：两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果其中的一种量扩大几倍，另一种量也扩大相同的倍数，一种量缩小几倍，另一种量也缩小相同的倍数，那么这两种量就叫做成正比例，它们之间的关系叫做正比例关系。

例1.汽车 2 小时行 72 公里，用同样的速度行 6 小时，可以行多少公里？如果要行 288 公里，需要多少小时？

【解】这里有两种相关联的量，一种是时间，另一种是路程。这里有一个不变的条件，就是同样的速度。

        我们现在把三次行路的两种量的数值，列表如下（要求的未知量，分别用字母心与则来表示）：

        同一次里两种量的数值，叫做一组对应的值，例如 2 和 72，6 和 x，y 和 288，都是对应值。

        我们知道，如果速度不变，那么时间和路程这两种量是成正比例的量，即第一种量扩大或缩小几倍，第二种量也扩大或缩小同样的倍数。

        (1)拿时间来说，第二次对第二次扩大的倍数是 6:2  。拿路程来说，第二次对第一次扩大的倍数是 x:72  。因为倍数相等，得比例 6:2＝x:72  。

        解比例，2x＝6×72，x＝6×72÷2，x＝216  。

        答：汽车在 6 小时内行路 216 公里。

        (2)拿时间来说，第三次对第一次扩大的倍数是 y:2  。拿路程来说，第三次对第一次扩大的倍数是 288:72  。因为倍数相等，得比例 y:2＝288:72  。

        解比例，72y＝2×288，y＝2×288÷72，y＝8  。

答：汽车行 288 公里需要 8 小时。

【注意】在判定成正比例的量时，必须注意两点：

        (1)其他条件不变。如在这里必须速度不变.如果速度有变化，那末时间和路程就不是成正比例的量了。

        (2)倍数相同。如果只知道一种量扩大时另一种量也扩大，而倍数不同，那末这两种量也不是成正比例的量。

【】因为两个同类的量的倍数就是它们的比，所以我们对成正比例的量，也可以作这样的叙述：

【】两种相关联的量，在其他条件不变的时候，如果一种量的任意两个数值的比总等于另一种量的两个对应的数值的比，那么这两种量就叫做成正比例的量。

【】如果我们把一种量的一些数值用字母 a₁，a₂，a₃…来表示，把另一种量的对应的数值用字母 b₁，b₂，b₃…来表示，如下表：

【注】a₁，a₂，a₃…；b₁，b₂，b₃…都表示不同的数。

【】那么如果这两种量成正比例关系，就有比例：a₁:a₂＝b₁:b₂，a₁:a₃＝b₁:b₃，…。

【】现在我们再来看看这些量里有负值时的情况。

例2.在东西向的公路上，甲、乙、丙、丁四人同时经过一车站，甲、乙分别以每小时 9 公里和 12 公里的速度向东，丙以每小时 18 公里的速度向西。当甲到达这个车站以东 30 公里的时候，乙和丙各到达了哪里？如果这时丁到达了车站以西 20 公里处，丁的速度和方向怎样？

【解】我们把向东方向作为正方向，那末速度和路程，都以向东的取正值，向西的取负值。把这四个人的速度和路程，列表如下（未知的量分别用字母 x，y，z 表示）：

        如果时间不变，那末速度和路程这两种量是成正比例的量，即这两种量的对应值之间的比应该相等。得比例：(1) 9:12＝30:x，(2) 9:(－18)＝30:y，(3) 9:8＝30:(－20)  。

        解这些比例：

        (1) 9x＝12×30，x＝12×30÷9＝40；

        (2) 9y＝－18×30，y＝－18×30÷9＝－60；

        (3) 30z＝9×(－20)，z＝9×(－20)÷30＝－6  。

答：乙这时在车站东面40公里处，丙这时在车站西面60公里处，丁的速度是向西每小时6公里。

【注】在算术里，我们说的倍数关系总只讲正数倍数，在代数里，我们也讲负数倍数，如 9 是－18 的倍，－18 是 9 的－2倍。