【种花家务·代数】2-1-04方程的两个基本性质『数理化自学丛书6677版』

2023-10-23 10:01 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程

§1-4方程的两个基本性质

【01】在上一节里，要判别一个方程和另一个方程是不是同解方程，我们需要把两个方程的根一一代入检验，这样的方法是很麻烦的。为了解决这个问题，并且能够正确地掌握解方程的方法，我们先来研究方程的两个基本性质。

1、方程的第一个基本性质

【02】我们看下面一个问题：什么数减去 3 等于 7？

【03】如果设某数为 x，可以列出方程 x－3＝7 。

【04】我们如果用算术方法来考虑：某数减去 3 所得的差是 7，大家都知道，这个某数（即被减数）等于差 7 与减数 3 的和。列出方程，可以得到 x＝7＋3 。

【05】这里，当 x＝10 的时候，方程 x－3＝7 的两边都等于 7，方程 x＝7＋3 的两边都等于 10 。这就是说，10 是方程 x－3＝7 的根，也是方程 x＝7＋3 的根。所以方程 x－3＝7 和方程 x＝7＋3 是同解方程。

【06】从这个例子，我们可以得出一个性质：方程的两边都加上（或者都减去）同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。

【07】再看下面这个方程：3x－2＝10 。

【08】从这个方程的两边都减去同一个整式 2x－1，得到3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1) 。

【09】当x＝4的时侯，方程3x一2＝10的两边相等，这时 2x－1＝7，所以两边都减去整式 2x－1，实际上就是两边都减去 7，因此方程 3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1) 的两边也相等。所以我们知道方程 3x－2＝10 和方程 3x－2－(2x－1)＝10－(2x－1) 也是同解方程。

【10】根据上面所说的，我们得到方程的第一个基本性质：方程的两边都加上（或者都减去）同一个数或者同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。

例1.把下列方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数 x，而右边是用数字表示的数：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A(1)%26%26%20x-5%3D8%3B%5C%5C%0A(2)%26%269x-%5Cfrac%7B7%7D%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【分析】利用方程的第一个基本性质，我们可以把原方程变形成它的最简单形式的同解方程。

【解】

【注意】把方程逐步变形成它的同解方程时，不可以用“＝”把前后两个方程连结起来。例如，从方程 x－5＝8 得出它的同解方程 x＝8＋5，不能错误地写成 x－5＝8＝x＝8＋5，应该按照上面例题中那样一步一步分开写。很明显，如果照 x－5＝8＝x＝8＋5 这样的写法，就会得出 8＝8＋5 这样一个错误的结论。

例2.证明方程 $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ 和方程 $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ 是同解方程。

【证】

把 $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ 代方程 $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ 里的 x，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D9%5Ctimes%5Cfrac%7B13%7D%7B10%7D-%5Cfrac7%7B10%7D%3D11%2C%5C%5C%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%3D8%5Ctimes%5Cfrac%7B13%7D%7B10%7D%2B%5Cfrac35%3D11.%5Cend%7Baligned%7D$

方程左右两边的值相等，所以方程 $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ 的根是 $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ 。用其他的值代替方程中的 x，左右两边就不相等，说明它设有别的根。这就是说，方程 $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ 的根和方程 $%5Cscriptsize%20x%3D1%7B%5Cfrac3%7B10%7D%7D$ 的根是完全相同的。因此，这两个方程是同解方程。

【11】我们来观察一下：在上面例 1(1) 中的两个方程 x－5＝8 和 x＝8＋5里，含有－5 的一项原来在第一个方程的哪一边？符号是正的还是负的呢？后来在第二个方程的哪一边？符号是正的还是负的呢？很明显，含有－5 的一项原来在方程的左边，符号是负的；后来在方程的右边，符号变成正的了。再看例 1(2) 中的两个方程 $%5Cscriptsize9x-%5Cfrac7%7B10%7D%3D8x%2B%5Cfrac35$ 和 $%5Cscriptsize9x-8x%3D%5Cfrac35%2B%5Cfrac7%7B10%7D$ 里，含有 $%5Cscriptsize-%5Cfrac7%7B10%7D$ 的一项，原来在方程的左边，符号是负的，后来在方程的右边，符号变成正的；而含有 8x 的一项原来在方程的右边，符号是正的，后来在方程的左边，符号变成负的了。

【12】从上面的例题可以看出：

【13】方程中的任何一项，都可以把它的符号改变后，从方程的一边移到另一边。

【14】把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形，叫做移项。移项以后所得的方程和原方程是同解方程。

【15】移项的法则是：

【16】要把方程中的项从等号的一边移到另一边，必须改变这个项的符号。

【17】移项法则在以后解方程中经常要用到，必须熟练掌握。

例3.利用移项的方法，把下列方程变形成左边只留下一个未知数 x，而右边是数字表示的数的方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B(1)%20%7D%5Cfrac47x%3D3-%5Cfrac37x%3B%5C%5C%26%5Ctext%7B(2)%20%7D8x%2B5%3D10x%2B1-3x.%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

习题1-4(1)

1、根据方程的第一个基本性质，说明下列各题中的两个方程是同解方程：

(1) 5x－3＝2 和 5x＝5；

[解法举例在方程 5x－3＝2 的两边都加上 3，就得到 5x＝5，所以方程 5x－3＝2 和方程 5x＝5 是同解方程]

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D(2)%26%264%2B7x%3D10%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D7x%3D6%3B%5C%5C(3)%26%264x%2B3%3D2x-4%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D2x%3D-7%3B%5C%5C(4)%26%262x-9%3D6-4x%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D6x%3D15%3B%5C%5C(5)%26%26%5Cfrac12-3x%3D1-5x%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D2x%3D%5Cfrac12.%5Cend%7Beqnarray%7D$

2、用移项的方法把下列各方程变形成它的同解方程，使方程左边只留下一个未知数，而右边是数字表示的数：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)x-11%3D6%3B%5C%5C%26%26%20(2)2.7%2Bx%3D4.2%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(3)4x%3D5%2B3x%3B%5C%5C%26%26%20(4)6y-2%3D5y%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(5)3-2x%3D4-3x%3B%5C%5C%26%26%20(6)7a%2B5%3D6a%2B5%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(7)9y%2B2%3D8y-6%3B%5C%5C%26%26%20(8)-5x-3%3D2-6x%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(9)2x-%5Cfrac23%3Dx%2B%5Cfrac16%3B%5C%5C%26%26%20(10)%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B10%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dx%3B%20%20%5C%5C%0A%26%26(11)5x-8%2B6x%3D10x-1%3B%5C%5C%26%26%20(12)9x-3%3D13x%2B4-5x%20%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【注意】第 (4)，(6)，(7) 各题中的未知数分别是 y，a，不要错误地写成 x 。

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%3B%20x%3D17%2C%5C%3B(2)%5C%3B%20x%3D1.5%2C%5C%3B(3)%5C%3B%20x%3D5%2C%5C%3B(4)%5C%3B%20y%3D2%2C%20%5C%5C%0A%26(5)%5C%3B%20x%3D1%2C%5C%3B(6)%5C%3B%20a%3D0%2C%5C%3B(7)%5C%3B%20y%3D-8%2C%5C%3B(8)%5C%3B%20x%3D5%2C%5C%3B%5C%5C%26(9)%5C%3B%20x%3D%5Cfrac56%2C%20(10)x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%2C(11)x%3D7%2C(12)x%3D7.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

2、方程的第二个基本性质

【18】我们看下面这个问题：什么数除以 5 等于 3？

【19】设某数为 x，可以列出方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ 。

【20】如果用算术方法来做，大家都知道，这个某数（即被除数）等于商 3 与被除数 5 的乘积。列出方程，可以得到 x＝3×5 。

【21】这里，方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ 的根是15，方程 x＝3×5 的根也是15，所以方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ 和方程 x＝3×5 是同解方程。

【22】同样可以看到，方程 2x＝6 和方程 x＝3，它们的根都是 3，所以方程 2x＝6 和方程 x＝3 也是同解方程。

【23】从上面所说的，我们得到方程的第二个基本性质：

【24】方程的两边都乘以（或者都除以）不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。

【25】特别要注意，如果用零乘方程的两边，那末所得的方程就不是原方程的同解方程。例如，方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%3D3$ 的两边都乘以零，得到 $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x5%5Ctimes0%3D3%5Ctimes0$ 。在这个等式里，不论用任何数值代替 x，左右两边的值都等于零，它们是相等的。所以这个等式就成为一个恒等式了。

【26】如果方程的两边都除以零，那末两边都没有意义。

例4.把下列方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数 x，而右边是数字表示的数：(1) $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2%3D-5$ ；(2)－3x＝7 。

【分析】这两个方程里含有未知数 x 的项的系数都不是 1，我们可以利用方程的第二个基本性质，把原方程变形成它的含有 x 项的系数是 1 的同解方程。

【解】

(1) $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x2%3D-5$ 方程的两边都乘以2，得 x＝－10 。

(2)－3x＝7 方程的两边都除以－3，得 $%5Cscriptsize%20x%3D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ 。

习题1-4(2)

1、根据方程的第二个基本性质，说明下列各题中的两个方程是同解方程：

$%5Csmall%5Ctext%7B(1)%7D%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx-2%3D3%3B$

[解法举例：在方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1$ 的两边都乘以 3，就得到 x－2＝3，所以方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx-2%7D3%3D1$ 和方程 x－2＝3 是同解方程]

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(2)%264x-8%3D6%5Ctext%7B%E5%92%8C2%7Dx-4%3D3%3B%5C%5C(3)%26%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(3x-2)%3D-1%5Ctext%7B%E5%92%8C%7D3x-2%3D-5%3B%5C%5C(4)%26%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D(5-2x)%3D9x%5Ctext%7B%E5%92%8C%7D5-2x%3D12x.%5Cend%7Baligned%7D$

2、判别下列各题中的两个方程是不是同解方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(1)%263x%3D-18%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%3D-6%3B%E3%80%90%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C%0A(2)%26-%5Cfrac%20x4%3D-3%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%3D12%3B%E3%80%90%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C(3)%26x%3D3%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7D0%5Ccdot%20x%3D0%3B%E3%80%90%E4%B8%8D%E6%98%AF%E3%80%91%5C%5C(4)%26x%3D1%5Ctext%7B%20%E5%92%8C%20%7Dx%5E2%3Dx.%E3%80%90%E4%B8%8D%E6%98%AF%E3%80%91%5Cend%7Baligned%7D$

[提示：x＝0 是方程 x²＝x 的根，但是方程 x＝1 只有一个根 1]

3、根据方程的第二个基本性质，把下列各方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数 x，而右边是数字表示的数：

$%5Csmall%0A%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%200.2x%3D-3%3B%5C%5C%0A%26%26(2)6x%3D4.2%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(4)%20-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%3D15%3B%20%5C%5C%0A%26%26(5)-%5Cfrac%20x7%3D-%5Cfrac3%7B14%7D%3B%20%5C%5C%26%26(6)%20%5Cfrac%7B3x%7D4%3D-%5Cfrac23%3B%20%5C%5C%0A%26%26(7)-0.75x%3D%5Cfrac34%3B%20%5C%5C%26%26(8)%20%5Cfrac34x%3D-0.6%3B%20%5C%5C%0A%26%26(9)-1.2x%3D-3%5Cfrac34%3B%20%5C%5C%26%26(10)-5x%3D0.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[提示：遇到题中既有小数，又有分数时，可以先把它们都化成分数（或者小数）再行计算。如果遇到分数不能化成有限小数，象 $%5Cscriptsize%5Cfrac13$ ， $%5Cscriptsize%5Cfrac17$ ， $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3%7D%7B14%7D%20$ 等，只能得到循环小数时，就把别的小最化成分数后，再行计算]

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26(1)%26x%3D-15%2C%26(2)%26x%3D0.7%2C%26(3)%26x%3D-1%5Cfrac15%2C%26(4)%26x%3D-10%2C%26(5)%26x%3D1%5Cfrac12%2C%5C%5C%0A%26(6)%26x%3D-%5Cfrac89%2C%26(7)%26x%3D-1%2C%26(8)%26x%3D-%5Cfrac45%2C%26(9)%26x%3D3%5Cfrac18%2C%26(10)%26x%3D0.%5Cend%7Beqnarray%7D$

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习题1-4(1)

习题1-4(2)