如何用数学归纳法解决2023北京高考数学压轴？

2023-06-30 00:18 作者:UTF-0_ 0人读过 | 我要投稿

第三问的等价形式：

当 $m%3D1$ 时，显然成立

假设当 $m%3Dk-1$ 时成立

则当 $m%3Dk$ 时：

若 $a_%7Bn%7D%2C%20b_%7Bn%7D$ 中都有 $k$ ，则只取两个 $k$ 即可

若 $b_%7Bn%7D$ 中没有 $k$ ，设 $a_%7Bn%7D$ 中 $k$ 的个为 $f$

当 $f%3D0$ 时，由于 $b_%7Bn%7D$ 中也没有 $k$ ，于是取子数列可退化到 $k-1$ 时的情形，显然成立

假设当 $f%3Dw-1$ 时成立，此时

$%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Da_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bp%7D%2C...%2Ca_%7Bq%7D%2C...%2Ca_%7Bk%7D$

$%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Db_%7B1%7D%2Cb_%7B2%7D%2C...%2Cb_%7Bs%7D%2C...%2Cb_%7Bt%7D%2C...%2Cb_%7Bk%7D$

则当 $f%3Dw$ 时：

考虑将 $%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ 中的某一项 $a_%7Br%7D$ 换为 $k$

若 $r%5Cnotin%20%5Bp%2Cq%5D$ ，则显然成立

若 $r%5Cin%20%5Bp%2Cq%5D$ ，则将 $%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Da_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bp%7D%2C...%2Ca_%7Br%7D...%2Ca_%7Bq%7D%2C...%2Ca_%7Bk%7D$

中的 $a_%7Br%7D$ 换为 $k$ 后，“ $a$ 和” $%5Csum_%7Bi%3Dp%7D%5Eqa_%7Bi%7D%20$ 增大了 $k-a_%7Br%7D%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$

若 $%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ 不取“ $b$ 所有和” $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ekb_%7Bi%7D%20$ ，则再向前或向后取一项，此时“ $b$ 和”增大了 $u%2Cu%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$

取 $a_%7Br%7D%3Dk-u%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ，成立

若 $%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ 取“ $b$ 所有和”，因为 $a_%7Br%7D%5Cleq%20m-1%3Cm%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ekb_%7Bi%7D%20$ ，所以“ $a$ 和”至少是两项的和，