“硬币悖论”？

今天无意间翻到了b站用户@职业数学家在民间 关于所谓“硬币悖论”的视频（BV1Uz4y197PX），我觉得我有必要对这个问题进行澄清。

事实上，在网上你是几乎找不到所谓的“硬币悖论”的，除了一些明显出自营销号之手的所谓悖论总结。严格来说，所谓的“硬币悖论”根本不属于逻辑学上的悖论，因为它只是被误解了，根本不存在逻辑上的矛盾之处。就像很多人无法理解狭义相对论，但这并不意味着你能称狭义相对论为悖论。

好，现在我们来分析问题。

原问题我就不过多赘述了，我们直接来看更一般的情况：

考虑两个半径分别为r和R的两个圆圆O'和圆O，圆O'绕圆O作无滑动的滚动，求绕圆O公转一周后圆O'自转转过的角度。

解：

记圆O'的公转加速度和自传角速度分别为ω和ω'，质心速度为v

由定义可知

v=ω(R+r)

由纯滚动条件可知

v=ω'r

于是

ω'=ω(R+r)/r

故公转与自转角度θ，φ满足

φ=θ(R+r)/r

对于原题目，取θ=2π，r=R，有

φ=4π

下面考虑一个更有意思的问题：

圆O'上某一点的轨迹长度是多少？

不妨假设取圆心O'的初始位置为在y轴上，考虑圆O'的最上端的点A

容易得到有关向量

于是，可以得到参数方程

进而可以得到轨迹长度

这里有一个有意思的结论：

对于上面的结果，取r=R，有

L=16R

注意到半径为R的圆转一圈所形成的摆线的长度为8R，因此可以看出，原题中的圆转了两圈，即4π角。