不等式处理利器——全导数法

引子

我们有诸多著名不等式

因此我们需要一种相对通用的方法。我们常常希望采用拉乘（也即偏导法）去处理多元函数极值的问题，但是它也有一些问题：

• 偏导方程不容易解
• 解完之后确认是极大还是极小很麻烦

因此这里提出多元函数的全导数。

全导数

全导数=偏导数之和

全导数拥有一系列良好的性质

不等式的全导数定理：

• 只需要自变量有一个为 0 时函数值非负
• 全导数（比原函数低阶）非负

这样我们就对问题完成了简化。并且这个过程是可以重复的，也就是说我们可以一直消元降次下去，直到得到一个显然的不等式

应用实例

均值不等式

排序不等式

舒尔不等式

柯西不等式

弱化 Vasile 不等式

最后，给出全导数定理的证明（调整法）