《几何原本》命题1.29【夸克欧氏几何】

命题1.29：

如果两条平行线被另一条直线所截，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补

已知：EF截于平行线AB，CD

求证：∠AGH=∠GHD，∠EGB=∠GHD，∠BGH+∠GHD=两直角

解：

假如∠AGH≠∠GHD

设∠AGH＞∠GHD

∵∠AGH＞∠GHD

（已知）

∴∠AGH+∠BGH＞∠GHD+∠BGH

（隐藏公理）

∵∠AGH+∠BGH=两直角

（命题1.13）

∴∠GHD+∠BGH＜两直角

（公理1.1）

∴AB，CD在点B，D一侧延长后会相交

（公设1.5）

∵AB∥CD

（已知）

∴这是不可能的

（定义1.23）

∴内错角∠AGH=∠GHD

∵∠AGH=∠EGB

（命题1.15）

∴同位角∠EGB=∠GHD

（公理1.1）

∴∠EGB+∠BGH=∠GHD+∠BGH

（公理1.2）

∵∠EGB+∠BGH=两直角

（命题1.13）

∴同旁内角∠GHD+∠BGH=两直角

（公理1.1）

证毕

此命题将在本卷中被大量使用

PS：此命题在罗氏几何中失效