A-1-5运动关联

2023-08-29 16:44 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

1.5.1 转动参考系

令S为静止参考系，S'为相对S的以 $%5Cvec%5Comega$ 转动的参考系，先不考虑S'相对S的平动，令两参考系原点始终重合。物体的位置，速度，加速度在S系中为 $%5Cvec%20r%2C%5Cvec%20v%2C%5Cvec%20a$ ，而在S'系中为 $%5Cvec%20r'%2C%5Cvec%20v'%2C%5Cvec%20a'$ .

任何一个矢量在两坐标系中相同，但是由于基矢的转动，其对时间的导数并不相同。另外，不同参考系中标量的导数都是相同的，故无需标明参考系。

S系中的基矢为 $%5Chat%20i%2Ci%3Dx%2Cy%2Cz$ ，S'系中的基矢为 $%5Chat%20i'%2Ci'%3Dx'%2Cy'%2Cz'$ .在各自参考系中，对应的基矢是不变的。定义 $(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D)_S$ 为在S系中求导， $(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D$ 为在S'系中求导。

故有：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20r%3D%5Csum%20r_i%5Chat%20i%3D%5Cvec%20r'%3D%5Csum%20r_i'%5Chat%20i'%5C%5C%20(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

另外有：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_S%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Chat%20i'$

代入以上式子得

$%0A(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Csum%20r_i'%5Chat%20i')_S%0A%0A%3D%5Csum%20%5Cdfrac%7Bdr_i'%7D%7Bdt%7D%5Chat%20i'%2B%5Csum%20r_i'(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_S%0A%0A%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r$

此即转动参考系中的速度变换关系：

$%5Cvec%20v%3D%5Cvec%20v'%2B%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r$

上述推导过程中， $%5Cvec%20r$ 具有一般性，故任意矢量 $%5Cvec%20A$ 在S,S'系中都有：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20A$

上式中代入速度矢量 $%5Cvec%20v$ ，得：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v%20%3D%5Cleft(%5Cdfrac%7Bd(%5Cvec%20v'%2B%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r)%7D%7Bdt%7D%5Cright)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes(%5Cvec%20v'%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r)$

$%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v'%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B(%5Cdfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%5Ctimes%5Cvec%20r%2B%5Comega%5Ctimes(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v'%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec(%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v)$

其中用到：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_S%20%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%20%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20%5Comega%20%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D$

故转动参考系中的加速度变换为：

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%20a'%2B%5Cvec%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20r%20%2B2%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v'-%5Comega%5E2%5Cvec%20r$

其中右边后三项分别为转动加速度，科里奥利加速度和向心加速度，三者统称为转动参考系中的牵连加速度。

如果S'系相对S系既有转动又有平动，只需要再加上参考系之间的相对速度和相对加速度即可。

1.5.2 常见约束条件

我们常常会遇到一些限制物体位置和运动的条件，称为约束，每多一个约束，都会降低物体的自由度，减少未知数的数目。比如3个质点的位置，本来有9个自由度，如果限制两两间距离一定，多了3个约束，这时候就只剩6个自由度了。

下面我们讨论一下常见约束的运动学表示。

距离固定

两质点A,B距离一定时，常见于刚体，如杆状，绳状物体。

此时选B为参考点，则A相对B做圆周运动，此时A相对B的径向速度

$v_%7BABr%7D%3D0$

或者说AB的径向分速度相等：

$v_%7BAr%7D%3Dv_%7BBr%7D$

但是，此时A,B的径向加速度不一定相等，在极坐标系中我们知道，径向加速度有两项：

$a_r%3D%5Cddot%20r-r%5Cdot%5Ctheta%5E2$

两点间距离一定，只能说明 $%5Cddot%20r%3D0$ ，还有另一项向心加速度存在。

例1.长为l的杆一端靠在竖直墙上，另一端搁在水平地板上。杆下端（下图上A点）在水平面上以匀速 $v_0$ 离墙运动。问：当与水平面成角 $%5Calpha$ 时，求B点加速度 $a_B$ 与角 $%5Calpha$ 的关系。

解：由于向心加速度由切向速度和曲率半径表示。要求加速度，一般必须先求速度。

如图，我们以A为参考系，将B的速度和加速度进行分解：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v_B%3D%5Cvec%20v_%7BBA%7D%2B%5Cvec%20v_A%5C%5C%20%5Cvec%20a_B%3D%5Cvec%20a_%7BBAn%7D%2B%5Cvec%20a_%7BBA%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_A%20%5Cend%7Bcases%7D$
由于B的实际速度沿着竖直方向，其加速度也沿着竖直方向，可以在图中作出矢量图。其中
$a_A%3D0%2Ca_%7BBAn%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_%7BBA%7D%5E2%7D%7Bl%7D$
解得

$v_%7BBA%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D%2Ca_B%3D%5Cdfrac%7Ba_%7BBAn%7D%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D%20%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl%5Csin%5E3%5Calpha%7D$

上述求B的加速度时，我们依然采用了算两次的方法，分别以地面和A作为参考系，表示出B的角速度，再利用几何关系求解。

不分离

考虑A,B两物体运动时始终保持接触的情况，选B为参考系，则A在B的表面滑动，故A相对B的法向速度为0，或者说AB在法向速度相等：

$v_%7BAn%7D%3Dv_%7BBn%7D$

1.如果接触面为平面，且B不发生转动，此时法向加速度也相等：

$a_%7BAn%7D%3Da_%7BBn%7D$

例2.如图所示，一个倾角为 $%5Ctheta$ 的半斜劈B沿水平方向向右运动。在半圆柱体上放置一根竖直杆A，A只能沿竖直方向运动，如图所示。斜劈的速度为 $v_B$ ，加速度为 $a_B$ ，求此时A的速度和加速度。

解：我们画出二者加速度的矢量图，由矢量图得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_A%3Dv_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20a_A%3Da_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

2.如果接触面为曲面，A相对B发生了转动，此时法向加速度不相等，还需要考虑相对转动引起的向心加速度。

例3.一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀加速运动.在半圆柱体上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为 $%5Ctheta$ ，求此时竖直杆运动的加速度。

解：我们画出二者速度和加速度关系的矢量图：

由矢量关系：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_A%3Dv_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20v_%7BAB%7D%3Dv_B%5Csec%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$
另外，由于A相对地面的加速度在竖直方向，可以分解为：

$%5Cvec%20a_A%3D%5Cvec%20a_%7BABn%7D%2B%5Cvec%20a_%7BAB%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_B$
其中 $a_%7BAB%5Ctau%7D$ 不方便计算，将上式沿n方向投影得：

$a_%7BA%7D%5Ccos%5Ctheta%3Da_%7BABn%7D-a_B%5Csin%5Ctheta$
故

$a_A%3D%5Cdfrac%7Bv_%7BAB%7D%5E2%7D%7BR%5Ccos%5Ctheta%7D-a_B%5Ctan%5Ctheta%20%3D%5Cdfrac%7Bv_B%5E2%7D%7BR%5Ccos%5E3%5Ctheta%7D-a_B%5Ctan%5Ctheta$
当上式中 $a_A$ 为负值时，方向竖直向上。

3.如果两物体保持接触的同时，B还发生了转动，选B为参考系时还需要考虑由于B的转动导致的切向加速度以及科里奥利加速度。

例4.顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速 $%5Comega$ 转动，如图所示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为 $%5Calpha$ ，此时A点曲率半径为R。试求此时瞬时顶杆AB的速度和加速度。

解：依旧画出二者速度和加速度的矢量图：

由矢量关系：

$v_A%3D%5Comega%20r%5Ctan%5Calpha$
而加速度满足：

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%20a_%7BAM%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_%7BAMn%7D-%5Comega%5E2%5Cvec%20r%20%2B2%5Cvec%20%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v_%7BAM%7D%2B%5Cvec%20%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20r$
将上式沿着n方向分解：

$a_A%5Ccos%5Calpha%3Da_%7BAMn%7D%2Ba_M%5Ccos%5Calpha-2%5Comega%20v_%7BAM%7D$
故

$a_A%3D%5Comega%5E2%20r%5B1%2B%5Cdfrac%7Br%7D%7BR%5Ccos%5E3%5Calpha%7D%20-%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%5E2%5Calpha%7D%5D$

滑轮

涉及到到滑轮和绳子的问题，其对应的约束也是总绳长不变，但是此时两段绳子不共线。假设绳子两自由端分别为A,B，滑轮为O.我们可以把约束写成标量式：

$v_%7BAO%7D%3Dv_%7BBO%7D$

即绳子的伸长速度等于缩短速度。

1.在讨论加速度时，如果绳子没有转动，只需要考虑沿绳子方向的径向加速度：

$a_%7BAO%7D%3Da_%7BBO%7D$

例5.如图所示，在与水平地面成 $%5Calpha$ 角的静止的劈面上放一根不可伸长的轻绳，绳的一端系在墙上A点，小物体系在绳子B点上。某一时刻劈开始以恒定加速度 $a_1$ 向右运动，求物体在劈上时所具有的加速度 $a_2$ 大小？

解：此时接触面为平面，m相对劈只有平动，可以直接考虑加速度。

画出m加速度矢量关系图：

其中 $a_%7B21%7D$ 为斜面上绳子缩短的加速度，等于BA段绳子伸长的加速度 $a_%7BBA%7D$ ，而

$a_%7BBA%7D%3Da_1$
即

$a_%7B21%7D%3Da_1$
故

$a_2%3D2a_1%5Csin(%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D)$

2.如果绳子有转动，计算两自由端加速度时，还需要考虑转动引起的向心加速度。

例6.一半径为R的半圆柱面在水平面上向右做加速度为a的匀加速运动，在柱面上有一系在水平绳子自由端的小球P，绳子的另一端固定在墙面上。如图所示，当小球相对于半圆柱面的角位置为 $%5Ctheta$ 时，半圆柱面的速度为v，求

（1）此时小球的速率；（2）小球此时加速度的大小。

解：画出小球的速度和加速度矢量图：

$v_P'$ 和 $a_P'$ 为相对速度和加速度，同上一题，易知

$v_P'%3Dv%2Ca_%7BP%5Ctau%7D'%3Da$
故

$v_P%3D2v%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2Ca_%7BPn%7D'%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$
加速度

$a_P%3D%5Csqrt%7B(a%2Ba%5Ccos%5Ctheta)%5E2%2B(%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%2Ba%5Csin%5Ctheta)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B4a%5E2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7Bv%5E4%7D%7BR%5E2%7D%7D$

交点

两直线的交点并不是一个质点，而是一个几何点。但我们可以假设在P点套一个光滑小圆环，将交点的运动转化为质点的运动。

例7.如图所示，一平面内有两直线AB和CD，相交 $%5Cvarphi$ 角。若直线AB以速度 $v_1$ 在平面内沿垂直于AB的方向移动，而直线CD以速度 $v_2$ 在平面内沿垂直于CD的方向移动。求两线交点P的速度 $v_p$ .

解：我们先假设CD静止，AB运动。可以看出，AB如果有一个沿着自身方向的速度，并不会引起交点的位置变化，所以此类问题中，有影响的是垂直直线的速度。

CD静止时，P点实际的速度方向沿着CD，其速度垂直AB的分量为 $v_1$ ，此时P的速度大小

$v_%7BP1%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$
同理，假设AB静止，CD运动，可以得到：

$v_%7BP2%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_2%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$
当AB，CD同时运动，P点实际速度为2个速度的合成：

$v_P%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bv_1%5E2%2Bv_2%5E2-2v_1v_2%5Ccos%5Cvarphi%7D%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$