数量关系《行测》系统课（全国通用）——刘文超

学会数量：需要1-2个月的时间才能学会小学奥数思维

小学奥数：学习如何思考数学

数学：理解原理→记忆深刻

适合备考时间在半年以上的同学

江苏、广东、吉林（这几个地方好好学，目标是达到90%的正确率）

搞定50%的简单题（做对5道题），剩下50%的题蒙一蒙（蒙对2-3道题）。

总目标：对7-8道题

数学运算课程安排：

• 解题技巧
• 经典题型（高频考点）考察占比70%
• 提高篇（非高频考点）考察占比30%，不是难，而是考频不高。

解析：四人年龄之乘积能被2700整除：该乘积中有27的倍数和100的倍数如，28×27×26×25中有27，约掉27，剩100；因为4×7=28，有4×25=100，所以约掉100，所以，该乘积满足“能被2700整除”的条件：

再看另一个条件“不能被81整除”，

本题思路启示：

• 问年龄，优先想到代入；
• 问最年长者，优先代最大数。

本题拓展：

• 素数：质数；
• 代入的对象与条件要看清楚，“能”、“不能”、“结婚时”

“将它们平均分成三份后还剩下2封”→“将其中两份平均三等分”

本题启示：

• 错误思路：在分成三份后，用单独一份计算时，没注意到单独一份要减少相应的比例。比如B项26=8×3+2，单独一份就是8,8÷3=2……2，若忘记是单独一份的话，可能会误选；实际应该是两份的16, 有16÷3=5……1，不符合。
• 7÷3=2……1→14÷3=4……2
• 用单独一份计算时，费事。
• “至少”从最少的开始代入。

【题目对比】

【拓展】余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数作周期。

1. 余同取余
2. 余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个相同的余数
3. 举例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1
4. 和同加和
5. 用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称“和同加和”。
6. 举例，“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
7. 差同减差
8. 差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称“差同减差”
9. 举例，“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则有“4-1=3,5-2=3,6-3=3”，所以取“-3”，表示为60n-3
10. 最小公倍数作周期
11. 所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（如上述1、2、3中的60n），称“最小公倍加”，也称为“公倍数作周期”

本题启示：

• 尾数法
• 正面解时，没什么思路时，优先代入。

做题启示：

• 题目长的，一步一步来，不要想着一下子就全都弄明白，可以划分层次
• 什么时候用代入排除？
• 找题目特征、确定解题思路
• 正面解：整理数据，找数据关系
• 尾数法，整理成加法

再过3年母亲的年龄就是儿子年龄的2倍→人的年龄是整数，2倍，+3得到偶数，现在母亲的年龄是奇数。

知道总和求差值，考虑奇偶特性，排除选项后，代入剩余选项。

x+y=50

x-y=偶数

如果列方程的话，3x-y=82,代入选项，AB得出y为负数，不符合，C得出y不是整数，选D。

题眼：平均分

平均分是平均分，相等是相等。

整理题干条件

已知差，求和→奇偶

口算速算↑

求一个数各个数位的和？3的倍数、9的倍数

解题思路：一个四位数分别被15、12、10除尽→则15、12、10的最小公倍数为60X——60X分别除以15、12、10，得到4x、5x\6x——根据题干条件有，4x+5x+6x=1365，解出x的值，代入60x得到这个四位数是多少。

做的题足够多，对数学的理解更近一步时，会对题目有更深的了解。

【例9】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？

解题思路理解：

①今年男员工人数比去年减少6%

设今年男员工人数为A，去年男员工人数为B

则有（资料分析），（A-B）/B=-6%

即（A/B）-1=-6%

得A/B=1-6%

故A/B=94%

94%=94/100=47/50（约分化简）

重量、钱、时间不一定是整数！！！

最小公倍数设总量，配等式解未知数。

最小公倍数只看分母，不需要关注分子！！

浓度=盐/盐水总重量

一个不常用的小技巧 ↓

找倍数关系：找最大的倍数

非限制性不定方程

1. 整体替换法
2. 赋0法

一定要做对的题！！！

S一定，VT成反比

V一定，ST正比

T一定，SV正比

做行程题目时，要勤画图。

解析：找部分与部分之间的等量关系

前半程＝后半程

推理：

应用情境：

1. 上下坡
2. 往返
3. 前半程、后半程

【例3】小伟从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小伟发现没带物理课本，他立即回家拿书（假设在学校耽误时间忽略不计），往返共用时36分钟，假设小伟上坡速度为80米/分钟，下坡速度为100米/分钟，小伟家到学校有多远？（）

A.2400米 B.1720米 C.1600米 D.1200米

解析：

注意：用往返的时间，求单程时，要除以2

【例4】从甲地到乙地111千米，其中1/4是平路，1/2是上魄力，1/4是下坡路。假定一辆车在平路的速度是20千米/小时，上坡的速度是15千米/小时，下坡的速度是36千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少千米/小时？

A.19 B.20 C.21 D.22

流水行船：V顺、V逆为实际的行驶速度

V顺=V船+V水

V逆=V船-V水

【例5】某船由甲地驶向乙地，逆水而行，若船速每小时8公里，3小时可到达；船速每小时5公里，5.25小时可到达。若船速为每小时6公里，则（）小时可到达。

A.4 B.4.2 C.4.6 D.5

解析：逆水而行，用“V逆=V船-V水”，有

（8-V水）×3=S

（5-V水）×5.25=S

解方程得出，V水=1

代入其中一个式子，得出S=21

若船速为6公里，则此时V逆=6-1=5，时间T=S/V=21/5=4.2

【例6】一艘轮船先顺水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小时。若该船先逆水航行20千米，再顺水航行60千米，也用了8小时。则在静水中这艘船每小时航行（）千米。

A.11 B.12 C.13 D.14

多个未知数的先消去一个未知数。

相遇追击

相遇：

追及

【例7】已知大A、B两地相距600千米。甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇。若甲的速度是乙的1.5倍，则甲的速度是（）

A.80千米/小时 B.90千米/小时

C.100千米/小时 D.120千米/小时

【例8】某人走失了一只小狗，于是开车沿路寻找，突然发现小狗沿路边往反方向走，车继续行30秒后，他下车去追小狗，如果他的速度比小狗快3倍比车慢3/4，可追上小狗需要多长时间？

A.165秒 B.170秒 C.180秒 D.195秒

解析：

他的速度比小狗快3倍比车慢3/4

人比车慢3/4，车比人快3/4

人1/4，车4/4

假设狗的速度为1（赋值），则他的速度为4，车的速度是16

环形追及：

1、两人相向出发，两人速度之和乘以时间为一圈

2、两人同向出发，两人速度之差乘以时间为多出的一圈

解方程：等量关系、加减

两端相遇：

第N次相遇，两车走过的路程之和，即一共走了（2N-1）S

【例11】某高校两个校区相距2760米，甲乙两个同学从各自校区同时出发到对方校区，甲的速度为70米/分钟，乙的速度为110米/分钟，在路上二人第一次相遇后继续前进，到达对方校区后马上返回，那么两人从出发到第二次相遇需要多少分钟？

A.32 B.46 C.61 D.64

解析：给出全程，求总时间

概率建立在排列组合之上。

排列组合：

分类：加法（做一件事有不同的方法种类）

分步：乘法（做一件事有先后顺序的小任务，小任务都完成之后才算这件事完成）

【例2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。现在从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法？

A.96 B.124 C.382 D.560

解析：

任务：从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训

其中，

语文教师8名，选1名，有8种不同的结果；

数学教师7名，选1名，有7种不同的结果；

英语教师5名，选1名，有5种不同的结果；

体育教师2名，选1名，有2种不同的结果；

因此，要完成任务，需要将每一步的可选结果相乘，得到完成任务的选择方法数量为8×7×5×2=56×10=560

【辨析】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。现在从以上四科教师中选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法？

A.22 B.124 C.382 D.560

解析：从所有老师中选一个人，每个人都是不一样的个体，那么可选择的方法数量为从22个人中选1人，即选法为22种。

【例3】某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六，公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。则职工小刘有多少种不同的报名方式？

A.4 B.8 C.9 D.16

先确定可选择的范围数量，认真审题，

排列，有顺序，6人中选出的第一个人排在第一位序，剩余5人选出的第一个人排在第二位序，依次类推，排队打饭。

组合，没有先后顺序。即从6人中选出3人组团，此时是没有顺序的，即

再将选出的3个人进行排序之后就变成了排列，

可得出

总结：

排列：选人并排队（有顺序，每个人不一样）

组合：选人（无顺序，每个人都一样）

排队之后除去重复的得到组合

小知识：

【例4】“我是歌手”某场比赛由六名首发歌手和一名踢馆歌手抽签决定出场顺序，且规定第一位和第七位出场歌手由踢馆歌手和上一次比赛第一名歌手抽取，剩余出场顺序由其他歌手抽取，则本场比赛出场顺序的排列共有多少种情况？

A.10080 B.120 C.240 D.6000

解析：明确要求的先拿出来排，在将剩余的进行排序，最后将这两个分步骤相乘，得到结果

【例5】甲、乙、丙三所学校的学生被安排在周一至周五参观某革命纪念馆。纪念馆每天最多只能安排一所学校，其中甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么共有多少种安排方法？

A.12 B.24 C.36 D.60

解析：甲学校连续参观两天，那么共有4种可能性，剩下3天，乙学校有3天可以选择，即3种可能性，丙剩下两天可以选择，即2种选择性，即结果为4×3×2=24

注意：不要陷入重复计算的思维之中。不管甲选了哪两天，乙丙的选择天数都是一样的。

思路正确，怎么算都是一样的

【例6】某部门从8名员工中选派4人参加培训，其中2人参加计算机培训，1人参加英语培训，1人参加财务培训，问不同的选法有多少种？

A.256 B.840 C.1680 D.5040

【辨析】某部门从8名员工中选派2人参加计算机培训，1人参加英语培训，1人参加财务培训，问不同的选法有多少种？

理解对题意，不同问法题意可能是一样的，因此，理解对才能做对。

捆绑法——相邻问题

谁要挨着，捆谁，当做一个人，和剩下的人一起排，然后捆绑里在排

【例7】为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？

A.大于20000 B.5001~20000

C.1000~5000 D.小于1000

【例8】两对夫妇各带一个小孩乘坐有6个座位的游览车，游览车每排只有1个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小孩一定要排在一起。那么，这6人的排座方法有（）。

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

注意，两位爸爸的位置，两个小孩捆绑在一起要进行捆绑内部排序，因此要乘两次2

插空法——不相邻问题

先排其他人，再将“不挨着”的人插到其他人的队列中，保证“不挨着”。注意，空位置的数量。

注意：有没有顺序

【例9】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法（）。

A.20 B. 50 C.100 D.400

注意：这里没有顺序，道路两侧是相乘不是相加。

插板法

注意：相同物品+至少分一个

【例10】将7个大小相同的橘子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个橘子，一共有几种分配方法？

A.14 B.18 C.20 D.22

错位排列：

每个人不能涉及到跟自己有关的。

背，4个人的错位排列等于9，5个人的错位排列等于44。

【例11】相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A.9 B.12 C.14 D.16

【例12】从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选取2个数，让他们的和是质数，则共有多少种选法？

A.19 B.18 C.17 D.16

E.15 F.14 G.13 H.12

解题方法：

1. 公式法
2. 画图法

掌握：多练多总结

理解记忆

每个封闭区域只能标记一个数字来代表其面积。

使用情景：

1. 只满足某一个条件
2. 公式解不了，难的

一定要规范标注好！！！

第一节

统筹安排

常用方法：枚举法、逻辑推断

例题1：小明家里来了客人，妈妈让他给客人烧水沏茶。烧开水需要 10 分:钟，洗紫砂茶壶和茶杯需要 2 分钟，洗开水壶需要 1 分钟，买茶叶需要 5 分钟，沏好茶需要 1 分钟。小明初步估算了一下，完成这些事情要 19 分钟。为了使客人早点喝上茶，你认为怎样安排最合理，至少需要多少分钟才能让客人喝上茶水？

（）

A．11

B．12

C．13

D．15

例题2：某餐厅要用三个炉灶做出 9 道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是 1、2、3、4、4、5、5、6、7 分钟。每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴。那么，最少经过（）分钟，该餐厅可以做完全部菜肴。

A.11

B.12

C.13

D.14

解析：三个炉灶要尽可能利用起来，即三个炉灶的做菜时间要尽可能平均

例题3：用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要 2 分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟 15 个煎饼，至少需要多少分钟：

A、14 B、15 C、16 D、30

例题4：某公园有一个周长为 1 千米的长方形花坛，计划在其周围每隔 100米放置一个垃圾桶。现已将所需垃圾桶全部放在其中一个放置点(如图所示)，接下来要用手推车将垃圾桶运到每一个放置点。假如该手推车每次最多能运 3 个垃圾桶，则将垃圾桶运到最后一个放置点时手推车行程最少为（ ）米。

A．1600 B．1800 C．1900 D．2200

追及问题

分针速度为 360°/60min=6°/min；

时针的速度 30°/60min=0.5°/min。

注：一整天分针走过 24 圈，时针走过 2 圈，所以时针追上分针 22 次，时针和分针重合 22次，垂直 44 次（每次重合前后都会呈现两次垂直）

找到上一个整的时间，追及问题。

从钟表的 12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间约（）

A.43 分钟

B.45 分钟

C.49 分钟

D.61 分钟

解析：注意“垂直”

张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为 110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍110°。那么张某外出买菜用时：

A．20 分钟

B．30 分钟

C．40 分钟

D．50 分钟

30°一个格，110°大约4个格，约6:13，七点前回家，约6:53——40min

追及：追了220,220÷（6-0.5）≈40

• 最小公倍数——不移动的间距为两次间距的最小公倍数
• 最大公约数——不移动的段数/棵数为两次段数的最大公约数

某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔 35 米的路灯一共有 21 盏，现要将路灯的间隔缩短为 25 米，那么有（）盏路灯无需移动。

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：推导出总长为700米，再确定间隔距离的最小公倍数为175，每个175的倍数的位置都不用动。

在长 581 米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口 15 米范围内最多植 1 棵树，并且相邻了两棵树间的距离为 4 米，问最多能植多少棵树？

A.137 B.139

C.278 D.280