线性代数AX=b，AX=0的解的情况？
线性代数中，有关方程组 AX=b 和 AX=0 解的情况，很多同学都没有搞清楚。
在这里，我以我的一点理解来解释这个问题，文中的重要内容用 加粗字体 展示，重要结论用 蓝色字体 展示，文章的最后我还做了一些总结。因为我自己也是学生，水平有限，如果有问题请指正哈。
首先，我们引入一个问题：
当 A 为 n 阶方阵时，AX=b（b≠0）的解的情况：
在线性代数第一章行列式的内容里，就讲过克拉默法则这一求解线性方程组的利器。
若方程组 AX=b 中，矩阵A的行列式 D≠0，那么方程组有唯一解，这是因为：
D在分母上，如果D≠0，那么x1, x2, ..., xn的值一定能一一求出来，所以x1, x2, ..., xn的值是唯一的，即方程组的解是唯一的。
反之，若|A| ≠ 0，则方程组不可能有唯一解，可能无解，也可能有无穷多解。
书本上还有另外一种判断方法：
若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程组有唯一解，其中 r(A) 表示方程A 的秩，r(A | b)表示A和b组成的增广矩阵的秩，也可以写成r(A,b)
若 r(A) = r(A | b) ，那么方程组有解。若r(A) = r(A | b) < n，则方程组有无穷多解，若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程组有唯一解。
若 r(A) ≠ r(A | b) ，那么方程组无解。
但是我想介绍的方法不是书上的这种，重点从这里开始：
这里，我就要引入解方程组中两个重要的概念：行满秩和列满秩。
行满秩就是矩阵的秩等于它的行数，列满秩就是矩阵的秩等于它的列数。也可以理解为行满秩就是矩阵的行向量组线性无关，列满秩就是矩阵的列向量组线性无关。
行满秩和列满秩有以下的特点：
（1）若矩阵A行满秩，那么AX = b（无论b是否为零向量）一定有解。
这个很好理解，如果A行满秩了，那么A的增广矩阵( A | b) 也一定行满秩，这是因为A和b组成的增广矩阵不过就是在 A 的右边增加了一列元素，而矩阵的行数没有发生改变，而矩阵的秩一定不超过它的行数和列数（即 r(A) ≤ min{ m, n }，其中m和n分别表示行和列）。因此，若A行满秩，那么一定有 r(A) = r(A | b) ，方程组一定有解。对于b ≠ 0的情况，我们便可以用行满秩的方法判断；而当b = 0时，AX = 0是一定有解的，X = 0一定是它的解，不需要考虑是否行满秩。
（2）若矩阵A列满秩，那么当 AX = b（无论b是否为零向量） 有解时，解一定唯一；如果列不满秩，那么当AX=b有解时，一定有无穷多解。
矩阵A列满秩，我们不能知道A是否有解，但是如果有解，那么一定有唯一解。回想一下，你在做解方程组的题目时，会经常用到矩阵的初等行变换，你在变换的过程中，如果一个矩阵列不满秩，你是一定会解出自由变量出来的，是不是这样？
第一张图矩阵A列满秩，所以解不出自由变量出来。
第二张图矩阵A列不满秩，会解出自由变量，自由变量为x2。
如果有自由变量的存在，就不可能有唯一解，因为最后的解一定由存在 kα 的式子表示的，系数k的值是可以任意取的，所以有无穷多解。
行满秩和列满秩是非常重要的两个概念。明白了这两个概念后，我们来重新审视解方程组的四种问题。此时，在分析这些方程组解的问题的时候，你需要熟悉和使用行满秩和列满秩的思维。
AX=b（b≠0），A为n阶方阵
若 A 的行列式 |A| ≠ 0，意味着矩阵A满秩，由于矩阵A是方阵，所以满秩意味着行满秩，而且列满秩。回忆一下刚才的内容，行满秩意味着一定有解，列满秩意味着没有自由变量。有解，而且解不出自由变量，那么一定有唯一解。
若 A 的行列式 |A| ＝ 0，方阵A行不满秩，那么可能有解，也可能无解；A的列不满秩，所以存在自由变量，所以，若A有解，一定有无穷多解。
据此，我们可以得出结论：
方程组AX=b，b≠0，A为方阵，有唯一解的充分必要条件是A的行列式 |A| ≠ 0。
若|A| ＝ 0，那么方程组不可能有唯一解，可能无解，也可能有无穷多解。
根据结论，来练习一下：“ 若AX=b，其中A为方阵，b≠0，此方程组有无穷多解，那么一定有| A | = 0 ”，这句话正确吗？
【答案】 正确
2. AX=b（b≠0），A为 n x m 阶矩阵
刚刚我们讨论了A为方阵的情况，那如果A不是方阵呢？比如A是3行4列的矩阵，那么A就没有行列式这一说了。
我们还是用行满秩和列满秩的概念。如果行满秩，那么一定有解；如果列满秩，那么没有自由变量，要么无解，要么有唯一解。
回忆一下，对于A为n阶方阵的情况，书上有定理：
若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程组有唯一解，其中 r(A) 表示方程A 的秩，r(A | b)表示A和b组成的增广矩阵的秩，也可以写成r(A,b)；若 r(A) = r(A | b) ，那么方程组有解；若r(A) = r(A | b) < n，则方程组有无穷多解，若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程组有唯一解；若 r(A) ≠ r(A | b) ，那么方程组无解。
我们对其进行推广，推广到A为任意n x m形式的矩阵：
若 r(A) = r(A | b) = m，那么方程组有唯一解，其中 r(A) 表示方程A 的秩，r(A | b)表示A和b组成的增广矩阵的秩，也可以写成r(A,b)；
若 r(A) = r(A | b) ，那么方程组有解；若r(A) = r(A | b) < n，则方程组有无穷多解，若 r(A) = r(A | b) = n，那么方程组有唯一解；
若 r(A) ≠ r(A | b) ，那么方程组无解。
是的，就是把 r(A) = r(A | b) = n换成了r(A) = r(A | b) = m，其中m为矩阵A的列数。这里不进行证明，请自行证明。
3. AX=0，A为方阵，和A为n x m矩阵的情况
我们知道，AX=0是一定有解的，不管矩阵A具体元素是什么，X=0总是这个方程组的解。所以，在AX=0的情况下，讨论行是否满秩没有意义，重点是列是否满秩。
由于AX=0一定有解，那么：
当列不满秩时，一定有无穷多解；列满秩时，一定有唯一解。
当A为方阵时，列满秩即代表A的行列式|A|≠0，所以：当A为方阵时，AX=0只有零解的充分必要条件为|A| ≠ 0，这和AX=b的情况是一样的。
对于上述四种情况，可进行以下总结：
对于方程组AX=b，其中A为任意 n x m 型矩阵，B为任意列向量（可能为0，也可能非0）
（1）若A为方阵，那么AX=b 有唯一解的充分必要条件是 |A| ≠ 0。
（2）若A为方阵，已知 AX=b 无解或有唯一解，那么一定有 |A| = 0。
（3）若b≠0，那么AX=b有解的一个充分条件是A行满秩，即：若A行满秩，那么AX=b一定有解；反之，若AX=b有解，不一定能说明A行满秩，因为可能有无穷多解。
（4）若b≠0，A列满秩，那么AX=b要么无解，要么有唯一解；若A列不满秩，那么AX=b要么无解，要么有无穷多解。是否有唯一解是区分是否列满秩的标准。
（5）若b=0，那么AX=0只有零解的充要条件是A列满秩，即A的列向量组线性无关；AX=0有非零解的充要条件是A列不满秩。特别地，当A为方阵时，AX=0只有零解的充要条件为A的行列式 | A | ≠ 0。
背结论没有意义，重要的是理解！
你学会了吗？来做一道简单的题来测试一下：
（注：此文章经过一次修改，此为修改后的版本。之前的文章有些许错误。）
