很水的数学分析104：多元函数的极限

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一.上节课收尾：外部。

1.mark：边界和偏导关系密切，所以用∂。

2.既开又闭，只有两种可能，∅或IRⁿ

3.Q既不是IRⁿ上的闭集，也不是开集，内部和外部都空，IR是它的边界。

二.多元函数的重极限。

1.多元函数：定义域⊆IRⁿ，陪域=IR。

2.多元函数的重极限定义。

①由于没有序关系，所以用极限点来拓宽自变量的趋向。拓宽以后出现bug，因极限点未必在定义域内，所以相应内容改为Йδ(x₀)∩D。

②重极限的意思是点列各分量的趋近过程互相独立。

3.例2.20。极坐标的好处是把多个独立的极限过程化为只有一个极限过程。

4.多元函数的Heine定理。

①要点：“∀”；“⊆D”；xk≠x₀；多元中，f(xk)是个数列，不是n维点列。

②证明同前。

Heine定理的证明是用反证法假设存在一个收敛点列/数列使得复合后极限不存在。用Heine定理证明某函数极限不存在也是找一个收敛点列/数列使得复合后极限不存在。

③例题。常用思路。

5.用多元函数的Heine定理推得多元函数的极限运算法则、多元函数的Cauchy收敛准则。

6.多元复合函数的极限。内层函数是n元函数，外层函数是一元函数。