Fourier分析的那些事

2022-03-11 22:45 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

在我第一期专栏里，推导了一个周期为T的函数g在满足一定条件时可以写为以下形式，

$g(u)%3D%5Ctilde%7Bg%7D%20(u)%3A%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D2%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20a_n%5Ccos%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20nu%7D%7BT%7D%2Bb_n%5Csin%5Cfrac%7B2%5Cpi%20nu%7DT$

这里采用记号 $%5Ctilde%20f$ 表示f的Fourier级数或积分以区分原本的函数f

不过有一个问题，在函数的某些“特殊”的点处它是否收敛呢？若收敛它又收敛到多少呢？比如下面的函数

在x=1处它的Fourier级数是怎么样的呢？实际上关于这个三角级数的逐点收敛性研究通常非常微妙，尽管它在近代函数论中占据了重要地位，但对有逐点收敛于它本身的三角级数表示的函数，这种函数类的内部结构至今也没有描述清楚。不过本期当然是不会讨论太高深的问题了

为了方便，，令 $x%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20u%7DT$ ，于是得到 $%5Ctilde%20f(x)$ 是x的周期为2π的函数，

$%5Ctilde%20f(x)%3A%3D%5Ctilde%20g%5Cleft(%5Cfrac%20%7BTx%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D2%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20a_n%5Ccos%20nx%2Bb_n%5Csin%20nx$

其中

$a_n%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)%5Ccos%20nt%5Cmathrm%20dt%2C$

$b_n%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)%5Csin%20nt%5Cmathrm%20dt$

Riemann-Lebesgue引理

下面将叙述的是一个十分重要的引理，它是研究Fourier级数逐点收敛性的基础：

若局部可积函数 $f$ 在区间 $(%5Calpha%2C%5Cbeta)$ 上（至少在反常积分意义下）绝对可积，则

$%5Clim_%7B%5Cmathbb%20R%5Cni%5Clambda%5Cto%5Cinfty%7D%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%3D0$

这里 $%5Calpha%2C%5Cbeta$ 均可以取正无穷或负无穷

证因为 $f$ 在 $(%5Calpha%2C%5Cbeta)$ 上绝对可积，所以对任意 $%5Cepsilon%3E0$ ，可以找到一个区间 $%5Ba%2Cb%5D%5Csubset%20(%5Calpha%2C%5Cbeta)$ ，使得对任何 $%5Clambda%5Cin%5Cmathbb%20R$ 都有

$%5Cleft%7C%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx-%5Cint_a%5Eb%20f(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5Cright%7C%3C%5Cepsilon$

此时 $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上是Riemann可积的，设 $%5Ba%2Cb%5D$ 的一个分割

$%5C%7Ba%3Dx_0%3Cx_1%3C%5Cdots%3Cx_n%3Db%5C%7D$

记 $m_j%3A%3D%5Cinf_%7Bx%5Cin%5Bx_%7Bj-1%7D%2Cx_j%5D%7Df(x)$

引入 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的分段常函数

$g(x)%3Dm_j%2Cx_%7Bj-1%7D%5Cle%20x%5Cle%20x_j$

由 $%5Ceta%20%3E0$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上Riemann可积，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cleft%7C%5Cint_a%5Eb%20f(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx-%5Cint_a%5Eb%20g(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5Cright%7C%26%5Cle%5Cint_a%5Eb%20%7Cf(x)-g(x)%7C%7Ce%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%7C%5Cmathrm%20d%7C%5C%5C%26%5Cle%5Cint_a%5Eb%7Cf(x)-g(x)%7C%5Cmathrm%20dx%5C%5C%26%3C(b-a)%5Cepsilon_1%5Cend%7Baligned%7D$

又由于

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_a%5Eb%20g(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%26%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%5Cint_%7Bx_%7Bj-1%7D%7D%5E%7Bx_j%7Dm_je%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%7Bi%5Clambda%7D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Enm_je%5E%7Bi%5Clambda%20x_j%7D-m_je%5E%7Bi%5Clambda%20x_%7Bj-1%7D%7D%5Cxrightarrow%7B%5Clambda%5Cto%5Cinfty%7D0%5Cend%7Baligned%7D$

于是便得到

$%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x)e%5E%7Bi%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5Cxrightarrow%7B%5Clambda%5Cto%5Cinfty%7D0$

$%5Csquare%0A$

此外，分离实部与虚部还可得当 $%5Cmathbb%20R%5Cni%5Clambda%5Cto%5Cinfty$ 时

$%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x)%5Ccos%7B%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5Cto0$

$%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x)%5Csin%7B%5Clambda%20x%7D%5Cmathrm%20dx%5Cto0$

Dirichlet核与局部化原理

根据Euler公式，Fourier级数可写为如下形式

$%5Ctilde%20f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)e%5E%7B-int%7D%5Cmathrm%20dt%5Cright)e%5E%7Binx%7D$

该级数理解为柯西主值意义下的级数，即
$%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%3A%3D%5Clim_%7BM%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D-M%7D%5EM$

取其部分和，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Ctilde%20f_N(x)%26%3D%5Csum_%7Bn%3D-N%7D%5EN%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)e%5E%7B-int%7D%5Cmathrm%20dt%5Cright)e%5E%7Binx%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Csum_%7Bn%3D-N%7D%5ENe%5E%7Bin(x-t)%7D%7D%5Cmathrm%20dt%5Cend%7Baligned%7D$

记蓝色部分为 $%5Cmathcal%20D_N(x-t)$ ，即

$%5Cmathcal%20D_N(t)%3D%5Csum_%7Bn%3D-N%7D%5ENe%5E%7Bint%7D$

称它为Dirichlet核，显然它有以下性质：

$%5Cforall%20N%5Cin%5Cmathbb%20N%2CA%5Cin%5Cmathbb%20R%2C%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_A%5E%7BA%2B2%5Cpi%7D%5Cmathcal%20D_N(t)%5Cmathrm%20dt%3D1$
$%5Cmathcal%20D_N(t)%3D%5Cmathcal%20D_N(-t)$

利用这两条性质以及 $%5Ctilde%20f_N$ 的周期性，可得

$%5Ctilde%20f_N(x)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cpi(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))%5Cmathcal%20D_N(t)%5Cmathrm%20dt$

对Dirichlet核继续计算，可得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cmathcal%20D_N(t)%3D%5Csum_%7Bn%3D-N%7D%5ENe%5E%7Bint%7D%26%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi(N%2B1)t%7D-e%5E%7BiNt%7D%7D%7Be%5E%7Bit%7D-1%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi(N%2B1%2F2)t%7D-e%5E%7B-i(N%2B1%2F2)t%7D%7D%7Be%5E%7Bit%2F2%7D-e%5E%7B-it%2F2%7D%7D%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cleft(N%2B%5Cfrac12%5Cright)t%7D%7B%5Csin%5Cfrac%2012t%7D%5Cend%7Baligned%7D$

代回至部分和中，可得

$%5Ctilde%20f_N(x)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cpi(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))%5Cfrac%7B%5Csin%5Cleft(N%2B%5Cfrac12%5Cright)t%7D%7B%5Csin%5Cfrac%2012t%7D%5Cmathrm%20dt$

然后可以试试将积分区间拆开为 $%5B0%2C%5Cdelta)%5Ccup%5B%5Cdelta%2C%5Cpi%5D$ ，其中 $%5Cdelta%3E0$ ，

因为当 $%5Cdelta%5Cle%20t%5Cle%5Cpi$ 时，有 $0%3C%5Csin%5Cfrac%5Cdelta2%5Cle%5Csin%5Cfrac%20t2$ ，所以根据Riemann-Lebesgue引理有

$%5Cint_%5Cdelta%5E%5Cpi(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))%5Cfrac%7B%5Csin%5Cleft(N%2B%5Cfrac12%5Cright)t%7D%7B%5Csin%5Cfrac%2012t%7D%5Cmathrm%20dt%5Cxrightarrow%7BN%5Cto%5Cinfty%7D0$

由此可得当 $N%5Cto%5Cinfty$ 时，

$%5Ctilde%20f_N(x)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cdelta(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))%5Cfrac%7B%5Csin%5Cleft(N%2B%5Cfrac12%5Cright)t%7D%7B%5Csin%5Cfrac%2012t%7D%5Cmathrm%20dt%2Bo(1)$

这个等式表明了函数的Fourier级数在一个点的收敛性完全取决于在以这个点为中心delta为半径的邻域内的性质，这就是所谓的局部化原理。由于 $%5Cdelta$ 可以任意小，所以局部化原理也可以简单表述为函数在x的任意小邻域内的性质决定其Fourier级数的收敛性

观察被积函数，可以较自然的引出一个定义：

$%5Cbar%20f(x)%3A%3D%5Clim_%7Bh%5Cto%2B0%7D%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)%2Bf(x-h)%7D2$

接着就是结论了

Fourier级数收敛性

先给出两个定义：

定义 $f$ 在x的左右极限：
$f(x%2B)%3A%3D%5Clim_%7Bh%5Cto%2B0%7Df(x%2Bh)%2C%5Cquad%20f(x-)%3A%3D%5Clim_%7Bh%5Cto%2B0%7Df(x-h)$
函数 $f$ 在点x连续或第一类间断，若对充分小的 $%5Cdelta%3E0$ ，存在 $M%3E0%2C0%3Ca%5Cle1$ ，使
$%7Cf(x%5Cpm%20t)-f(x%5Cpm)%7C%3CMt%5Ea%2C(0%3Ct%3C%5Cdelta)$
则称 $f$ 在点x满足Hölder条件，特别的，当a=1是称为Lipschitz条件

（定理）： $f%3A%5Cmathbb%20R%5Cto%5Cmathbb%20C$ 是周期为2π，在闭区间 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上绝对可积的函数，若 $f$ 在点x满足Hölder条件，则其Fourier级数在x收敛，且

$%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%5Cleft(%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi%20f(t)e%5E%7B-int%7D%5Cmathrm%20dt%5Cright)e%5E%7Binx%7D%3D%5Cbar%20f(x)$

证 $f$ 在点x满足Hölder条件时，对 $0%3Ct%3C%5Cdelta$

$%5Cfrac%7B%7Cf(x%5Cpm%20t)-f(x%5Cpm)%7C%7Dt%3CMt%5E%7B1-a%7D$

由此可得

$%5Cvarphi(t)%3A%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Bt)-f(x%2B)%2Bf(x-t)-f(x-)%7Dt$

在区间 $%5B0%2C%5Cdelta%5D$ 上绝对可积。又有

$%5Ctilde%20f_N(x)-%5Cbar%20f(x)%3D%5Cfrac1%7B%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%5Cdelta%5Cvarphi(t)%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%5Csin%5Cfrac%2012t%7D%5Csin%5Cleft(N%2B%5Cfrac12%5Cright)t%5Cmathrm%20dt%2Bo(1)$

令 $%5Cdelta%5Cto0$ ，此时 $2%5Csin%5Cfrac12t%5Csim%20t$ ，再由Riemann-Lebesgue引理可知上式当 $N%5Cto%5Cinfty$ 趋于零，即

$%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D%5Ctilde%20f_N(x)%3D%5Cbar%20f(x)$

$%5Csquare%0A$

该定理可以同样简诉为满足Hölder条件的函数的Fourier级数收敛于它任意小的邻域中的左右平均值，不难发现它正好与局部化引理相对应

还有最后一步，Dini-Lipschitz判别法只给出了周期为2π的函数其Fourier级数收敛的充分条件，但因为最开始我们用了代换 $x%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20u%7DT$ ，这可以将任意一个周期为T的函数转化为周期为2π的函数，所以我们实际上是得到了对任意周期函数其Fourier级数收敛的充分条件。现在再将 $x%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20u%7DT$ 代入回原式可得：

$%5Cbar%20f%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20u%7D%7BT%7D%5Cright)%3D%5Cbar%7Bg%7D%20(u)%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D2%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20a_n%5Ccos%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20nu%7D%7BT%7D%2Bb_n%5Csin%5Cfrac%7B2%5Cpi%20nu%7DT$

Fourier积分的收敛性

利用类似的方法，可将Fourier级数收敛的判别法推广至Fourier积分，已知对非周期函数，当它满足一定条件时，有

$f(x)%3D%5Ctilde%20f(x)%3A%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft(%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20i%5Comega%20t%7D%5Cmathrm%20dt%5Cright)%7D_%7B%5Chat%20f(%5Comega)%7De%5E%7B2%5Cpi%20i%5Comega%20x%7D%5Cmathrm%20d%5Comega$

这里的积分同样也为主值意义下的积分，即

$%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%3A%3D%5Clim_%7BA%5Cto%5Cinfty%7D%5Cint_%7B-A%7D%5EA$

（定理） $f%3A%5Cmathbb%20R%5Cto%5Cmathbb%20C$ 是绝对可积的函数，若它在点x处满足Lipschitz条件，则其Fourier积分在点x处收敛于f左右极限的平均

证取 $A%3E0$ ，

$%5Ctilde%20f_A(x)%3D%5Cint_%7B-A%7D%5EA%20%7B%5Cleft(%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20i%5Comega%20t%7D%5Cmathrm%20dt%5Cright)%7De%5E%7B2%5Cpi%20i%5Comega%20x%7D%5Cmathrm%20d%5Comega$

因为f绝对可积，所以这里可以合理的交换上式的积分次序，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Ctilde%20f_A(x)%26%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)%5Cleft(%5Cint_%7B-A%7D%5EAe%5E%7B2%5Cpi%20i%5Comega(x-t)%7D%5Cmathrm%20d%5Comega%5Cright)%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)%5Cfrac%7B%5Csin2%5Cpi%20A(x-t)%7D%7B%5Cpi%20(x-t)%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20(f(x%2Bt)%2Bf(x-t))%5Cfrac%7B%5Csin%7B2%5Cpi%20At%7D%7D%7B%5Cpi%20t%7D%5Cmathrm%20dt%5Cend%7Baligned%7D$

因为Dirichlet积分

$%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Csin%7B2%5Cpi%20At%7D%7D%7Bt%7D%5Cmathrm%20dt%3D%5Cfrac%5Cpi%202$

所以

$%5Cbar%20f(x)%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty(f(x%2B)%2Bf(x-))%5Cfrac%7B%5Csin%7B2%5Cpi%20At%7D%7D%7B%5Cpi%20t%7D%5Cmathrm%20dt$

因此有

$%5Cbegin%7Baligned%7D%5Ctilde%20f_A(x)-%5Cbar%20f(x)%26%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_0%5E%5Cinfty%20%5Cvarphi(t)%7B%5Csin%7B2%5Cpi%20At%7D%7D%5Cmathrm%20dt%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_0%5E%5Cdelta%5Cvarphi(t)%5Csin2%5Cpi%20At%5Cmathrm%20dt%2B%5Cfrac1%5Cpi%5Cint_%5Cdelta%5E%5Cinfty%5Cvarphi(t)%5Csin2%5Cpi%20At%5Cmathrm%20dt%5Cend%7Baligned%7D$