赌徒破产问题

        赌徒的赌资为m，庄家的赌资为N-m。掷一枚均匀的硬币。如果结果是人头，赌徒财富＋1，庄家财富-1；如果结果是字，赌徒财富-1，庄家财富+1。直到一方破产为止。最后赌徒破产的概率是多少？

        记Ak={赌徒初始财富为k，结果破产}，设P(Ak) =pk，B={首局结果为人头}.

        由全概率公式，pk=P(Ak)=  P(Ak|B)P(B) +P(Ak|Bc)P(Bc) = 1/2*pk+1+1/2*pk-1

        由题意知p0=1，pN=0，

        解得pn=1-n/N

        可以看出，pm>1/2等价于m＞N-m，limN→∞pm=0

        这一问题等价于下面的问题：

        一个醉汉从n点出发，（0≤n≤N，N,n为正整数），每一步等可能地向左或向右走一步，如果走到0或者N就停下来，（可以证明他最后走到0或N的概率为1(*)），则他最后走到0的概率为1-n/N。

（*）：如果他永远在1和N-1之间游走，那么一定不会出现“连续向右走N步”这个事件。所以：

        P(永远在1和N-1之间游走)

     ≤ P(永远不会连续向右走n步)

     ≤ P(任取自然数k，第kn步到第k(n+1)步不是连续向右走n步)

     =Πk=0,1,2...P(第kn步到第k(n+1)步不是连续向右走n步)

     =Πk=0,1,2...(1 - (1/2)^n)

     =limk→∞(1 - (1/2)^n)^k

     =0

         所以P(永远在1和N-1之间游走)=0，即P(经过0或N)=1.                    □

最近正好学到了这么一个问题，与现实并无任何关系，如有巧合，纯属事实。