柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系

牛顿392、柯西中值定理与拉格朗日中值定理的联系

 

柯西中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…柯西中值定理：见《牛顿390、391》…

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

…切、线、切线：见《牛顿288》…

定理定义

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

柯西（Cauchy）中值定理：设函数f（x），g（x）满足

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

 

（1）在闭区间[a，b]上连续；

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

 

（2）在开区间（a，b）内可导；

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

（3）对任意x∈（a，b），g’（x）≠0。

…∈：数学符号“属于”…见《牛顿303》…

 

那么在（a，b）内至少有一点ξ，使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

 

与拉氏定理（拉格朗日中值定理）的联系

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~389》…

…联、系、联系：见《欧几里得149》…

在柯西中值定理中，若取g（x）=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

几何意义

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

 

若令u=f（x），v=g（x），这个形式可理解为参数方程，而[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]则是连接参数曲线两端点弦的斜率，f’（ξ）/F’（ξ）表示曲线上某点处切线的斜率。在定理的条件下，结论可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。

…参、数、参数：见《欧几里得114》…

…方、程、方程：见《伽利略53》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

柯西（Cauchy）中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比罗尔（Rolle）定理与拉格朗日（Lagrange）中值定理更具一般性，也具有更广泛的应用性，但大多高等数学的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

…罗尔定理：见《牛顿367~375》“罗尔中值定理”…

…一、般、一般，性，一般性：见《欧几里得126、127》…

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

“若在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x）[即对任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，则称函数F（x）为f（x）在I上的原函数。

请看下集《牛顿393、不定积分的概念》”

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