（数学）读书近感（2）

接上回。

第四本《数学领域中的发明心理》，这本书很薄，一天就能读完。

若你能感同身受，可谓受益匪浅，不然这本书可能被规为空谈方法论。此处所谓感同身受，是指在书中能印照出自己的过往经历或学习感悟，读毕似是得到了对过去学习习惯的肯定与向未来迈步前进的勇气。当然，若能尝试践行其中一些方法，而且受用，也不罔此行。

这里费些篇幅谈谈我有哪些感同身受。

其一，问题的留存。在我学习一门数学分支，特别是刚学的时候，脑海里会冒出很多新奇的问题，而其中不乏一些苦思良久而不得解的。

虽然求而不解，但草稿倒是费了一沓，主要原因是字（也许说符号更适合）大且留空很大。记得高中语文老师“佩服”我的字时说道，语文差的不行，造字倒有一手，一个字你能一天一个样，都不带重样的。这句评价，被好友调侃至今。但其实对我来说，不管何时我的字都别无差别，我不需要去特意甄别我以前写的是啥。不过我也不否认这句评价，因为即使我最好的朋友，也常看不懂我写的草稿。

似乎扯远了，回到正题，如果在你遇到求而不解的问题时，你会怎样？是求助他人，还是暂搁一旁，还是干脆放弃？

我想说的是第三种万万不可取。问题是数学的灵魂，而一个人的问题是一个人数学的灵魂。

不要寄希望于以后自己不会再有这个问题。

这句话有两层意思，第一层即表面意义上的，而第二层更重要。的确，你可能在后面的学习过程中，再也不会被这个问题所困扰，但这只是因为你先强迫自己接受了一个你根本不懂的原理，然后在长时间的运用后，就习以为常了，认为这就是真理。

这有可能吗？其实常有。看向数学长河，不难发现，哪怕是史上有名的智者，也陷入过这处泥潭。

譬如，数的运算法则对任意数都成立吗？再具体些，考虑ab=ba。

这从代数出现后的漫长岁月里，虽然有人质疑过，但不曾有人给出否定。是啊，整数的天然法则，居然适用于分数，哪怕后来无理数、负数、复数的加入，都不曾出现问题，这些运算法则一定是真理！几个世纪的人们包括数学家都不免这么想。

所以甚至出现了一个定理，好像叫“形式的真理性”，即因为形式上有代数ab=ba，那么具体到数，就自然满足交换律。这个定理在现在我们看来，甚是滑稽，可谓毫无逻辑。

但这个定理却真实地被信服了漫长岁月，直到哈密顿发明（借用书名对发明与发现的看法）了四元数（最早的超复数），即形如a+bi+cj+dk的数，其中i=j=k=√-1。四元数并不满足交换律，因为ij=k，ji=-k，类似于叉积。

在四元数发明之前，代数的基础可以归结到整数，而整数又是那么显然，没什么人去质疑。但随四元数的出现，数学家们发现以前被认为真理的代数法则居然失效了，建造已久的代数高厦开始摇摇欲坠，这逼迫数学家们竭力去思考代数的基础到底在哪里？

再之后，便是催生了代数的公理化（这里不详谈，以后有机会再聊）。

说了一堆，只是用历史事实告诉大家，不要放弃你最开始的那些问题，也许它将是引发下一次数学革命的钥匙。再不济，也是你数学灵魂升华的一道圣光。

既然不可放弃，那该如何，这里给出我的做法，以供参考。我会把问题记录下来，一般只留下最初的问题和卡住的一环，而这往往一句话就够了。

这里提我线代视频里的一个问题进行举例，是否存在非方阵AB=E？这个问题是我刚学线代时提出的，苦思良久不得其解，便写在了书白处（常觉得这很像费马，而感到自豪，哈哈。）。

后来又学了一段日子，不知哪天翻到了那页，便再次尝试解答，这次摸索出了那期不完备证明，一时甚是开心（因为历史上著名定理的证明，往往最开始的一步最难跃过），不过当我想继续往下走，却又卡住了，不知道怎么证完备形式。

再后来，又过了一段时间，我利用其他途径（不过也是代数角度）证明了完备形式，到此时，这个问题似乎已经完美解决了。

不过再之后，某天骑车时，脑海中闪过一丝灵感（我常常在骑车时思考问题，也常常颇有成效，不过读者若想尝试，还是换个运动方式，哪怕要骑车，也请万万注意安全。），为什么我不从几何角度去考虑呢，然后一想，答案呼之而出，不需要动一笔就给出了完美的证明，也就是我常说的能用嘴说出的证明是最完美的。

这里的关键在于不可能存在高维打击后，再回溯到高维。（这是我的语言，若不明白，得看我线代视频里的相关章节。）

谈了一个感同身受就快两千字了，足见这本书我是多么感同身受，哈哈。

未完待续。