量子计算 -- 单量子位门与CNOT门的通用性

2021-09-20 15:49 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

在量子计算 [2] 里提到过任意一个多量子位门都可以由单量子位门和CNOT组合得到. 这里给出证明推理过程. 其实是之前忘记了 (

分解任意多量子位门到2级酉操作

定义只对两个态进行变换的操作为2级酉操作, 以下都为合理的2级酉操作

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%26b%260%260%5C%5Cc%26d%260%260%5C%5C0%260%261%260%5C%5C0%260%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%260%260%26b%5C%5C0%261%260%260%5C%5C0%260%261%260%5C%5Cc%260%260%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%260%5C%5C0%26a%260%26c%5C%5C0%260%261%260%5C%5C0%26c%260%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D$

不难知道, 对于任意多量子位门 U, 利用矩阵的初等变换可以有一组初等矩阵 V 使得: $V_kV_%7Bk-1%7D%5Ccdots%20V_2V_1U%3DI$ , 这时有: $U%3DV_1%5E%7B-1%7DV_2%5E%7B-1%7D%5Ccdots%20V_k%5E%7B-1%7D$ , 因为初等矩阵只对两个向量分量进行操作, 同时 U 是酉的, 也就是说 V 是2级酉操作, 一个多量子位门最多可以分解为 $2%5E%7B2n-1%7D-2%5E%7Bn-1%7D$ 个2级酉操作. 详细分解过程可以参考<线性代数>里面的矩阵初等变换.

分解2级酉操作到单量子位门和n控制单量子位门

设想可以使用一个n控制单量子位门得到2级酉操作. 但2级酉操作里被操作的两个态是任意的, 而n控制单量子位门规定被操作的态必须在同一个量子位上. 这时候可以使用n控制X门对态进行转移, 使得需要操作的两个态移动到同一个量子位上.

假设需要对 $%7C0%5Crangle$ 和 $%7C13%5Crangle$ 进行2级酉操作, 可以把 $%7C0%5Crangle$ 转移到 $%7C12%5Crangle$ , 再对最低位量子位进行n控制单量子位门, 最后把态的位置复原. 以下用一个简单的例子演示如何转移态:

分解n控制单量子位门到CNOT和单控制单量子位门

虽然之前好像没有明确地指出过, 这里还是着重地说一下, 控制位门可以写为 $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%7D$

针对2控制位门, 根据运算 $2%20%5Ctimes%20a_1%5Ccdot%20a_2%3Da_1%2Ba_2-(a_1%5Coplus%20a_2)$ , 那么可以分解为: $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%7D%3D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%5Coplus%20a_2%7DV%5E%7Ba_2%7DV%5E%7Ba_1%7D%3B%5C%3BU%3DVV$ , 因为 U 是酉的, 所以必定存在 V 使得 VV=U. 分解后的电路如下

类似地, 3控制位门的分解为: $4%20%5Ctimes%20a_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%3Da_1%2Ba_2%2Ba_3-(a_1%5Coplus%20a_2)-(a_2%5Coplus%20a_3)-(a_1%5Coplus%20a_3)%2B(a_1%5Coplus%20a_2%20%5Coplus%20a_3)$ 得到 $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%7D%3DV%5E%7Ba_1%5Coplus%20a_2%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_2%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%20%5Coplus%20a_2%7DV%5E%7Ba_3%7DV%5E%7Ba_2%7DV%5E%7Ba_1%7D%3B%5C%3B%20U%3DV%5E4$

对于任意n控制位门, 有:

$2%5E%7Bn-1%7D%5Ctimes%20a_1%5Ccdots%20a_n%3D%5Csum_i%20a_i-%5Csum_%7Bi%3Cj%7D(a_i%5Coplus%20a_j)%2B%5Csum_%7Bi%3Cj%3Ck%7D(a_i%5Coplus%20a_j%5Coplus%20a_k)-%5Ccdots%2B(-1)%5E%7Bn-1%7D(a1%5Coplus%5Ccdots%5Coplus%20a_n)$

分解单控制单量子位门到单量子位门和 CNOT

对于任意单量子位门 U, 存在实数 $%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cgamma%2C%5Cdelta$ 使得 $U%3De%5E%7Bi%5Calpha%7DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cgamma)R_z(%5Cdelta)$ . 证明过程在文章底部, 这个操作称作 Z-Y分解, 这种分解在Bloch球上是十分直观的.

定义三个单量子位门: $A%3DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D)%3B%5C%3BB%3DR_y(-%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D)R_z(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%2B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%3B%5C%3BC%3DR_z(-%5Cfrac%7B%5Cbeta-%5Cdelta%7D%7B2%7D)$ , 不难知道有以下关系 $ABC%3DI%3B%5C%3Be%5E%7Bi%5Calpha%7DAXBXC%3DU$ , 这个操作称为 ABC分解. 根据ABC分解的性质可以对任意单控制单量子位门分解:

Qcircuit 不能用矩阵作位门的名称, 所以这里就徒手画图了 (

经过以上步骤的分解, 任意多量子位门都可以分解为单量子位门和CNOT. 当然证明单量子位门和CNOT门的通用性还是差了很多细节, 但是我这个人就是不注重细节的 (

量子计算系列的专栏大概近期内都不会有更新了, 最近在忙光追, TODO list 里面还有量子力学, 相对论和流体模拟之类难啃的东西. 不过也说不定哪天就滚回来更量子计算了, 随缘, 随缘好吧

Z-Y分解的证明

设单量子位门为 $U%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%26b%5C%5Cc%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

根据酉矩阵的性质1 $%7Ca%7C%5E2%2B%7Cc%7C%5E2%3D1$ 设 $a%3De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3B%5C%3Bc%3De%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ , 再根据性质2 $%5Cbar%7Ba%7Db%2B%5Cbar%7Bc%7Dd%3D0$ 得到 $%7Ca%7C%7Cb%7C%3D%7Cc%7C%7Cd%7C%5CRightarrow%7Cb%7C%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3D%7Cd%7C%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ , 因为性质3 $%7Cb%7C%5E2%2B%7Cd%7C%5E2%3D1$ 可以设 $b%3De%5E%7Bi%5Ctheta_2%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3B%5C%3Bd%3De%5E%7Bi%5Ctheta_4%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ .

如此得到: $U%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi%5Ctheta_2%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi%5Ctheta_4%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Ctheta_2-%5Ctheta_1)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi(%5Ctheta_3-%5Ctheta_1)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Ctheta_4-%5Ctheta_1)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ , 由性质2得 $e%5E%7Bi(%5Ctheta_2-%5Ctheta_1)%7D%3D-e%5E%7Bi(%5Ctheta_4-%5Ctheta_3)%7D$ . 设 $%5Cdelta%3D%5Ctheta_4-%5Ctheta_3%3B%5C%3B%5Cbeta%3D%5Ctheta_3-%5Ctheta_1%3B%5C%3B%5Calpha%3D%5Ctheta_1%2B%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D$ . 得到

$U%3De%5E%7Bi(%5Calpha-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26-e%5E%7Bi%5Cdelta%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi%5Cbeta%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Cbeta%2B%5Cdelta)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3De%5E%7Bi%5Calpha%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%5E%7Bi(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26-e%5E%7Bi(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi(%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$

最后得到 $U%3De%5E%7Bi%5Calpha%7DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cgamma)R_z(%5Cdelta)$ aaa

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