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1．对「承担损失」一词的理解

2．根据「质数」的特性逐个代入

3．注意分析「水流」对速度的影响

4．理解排列组合题的关键

5．利用非负整数解三元一次方程

6．「百分数」类题目要赋值100

7．速度类题目，需要拆开分步计算

8．圆与圆覆盖、相交的难题

9．避开题干中的陷阱描述

10．百分数，就要赋值100

11．极限题的简单思路

12．对棱锥体积公式的考察

一、对「承担损失」一词的理解

【2012国考67题】甲乙二人协商共同投资，甲从乙处取了15000元，并以两人名义进行了25000元投资，但由于决策失误，只收回了10000元，甲由于过失在己，原意主动承担的损失。

收回的投资中乙将分得多少钱?
（A）10000元
（B）9000元
（C）6000元
（D）5000元

收回的投资中乙将分得多少钱?
（A）10000元
（B）9000元
（C）6000元
（D）5000元

正确率50%，易错项D

列出题干数据关系：
①乙出15000元，两人共出25000元投资
②只收回10000元
③甲承担2/3损失，乙分得多少钱

根据②可知，投资共损失：
25000-10000=15000元

根据③可知：
甲承担损失15000×2/3=10000元
乙承担损失15000×1/3=5000元

根据①可知乙出资15000元，损失5000元，即乙应当收回15000-5000=10000元，A选项正确。

本题切不可用最终收回的10000元减去乙损失的5000元得出D选项，因为「乙承担的损失」是基于出资额而不是收回金额来算的。

这道题的计算毫无难度，解题关键在于「承担损失」一词的理解是否准确。

二、根据「质数」的特性逐个代入

【2012国考68题】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师老师带领，刚好能够分配完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变。

目前培训中心剩下学员多少人?
（A）36　
（B）37
（C）39
（D）41

目前培训中心剩下学员多少人?
（A）36　
（B）37
（C）39
（D）41

正确率54%，易错项B

列出题干数据关系：
①5钢琴教师，6拉丁舞教师
②学员76，均分给教师，都为质数
③保留4钢琴教师、3拉丁舞教师
④每名教师所带学生数量不变，求还剩多少学员

本题看似复杂，但核心只有一个数据，即「学生数量都是质数」。

设钢琴教师带学生数量为a、拉丁舞教师带学生数量为b，可得：
5a+6b=76，即b=（76-5a）÷6

质数由小到大分别为2、3、5、7、11、13……分别逐个代入即可。

a=2，b=66÷6=11
a=3，b=61÷6，不成立
a=5，b=51÷6，不成立
a=7，b=41÷6，不成立
a=11，b=21÷6，不成立
a=13，b=11÷6，不成立

显然只能a=2，b=11，则最终剩余学员人数为：
2×4+11×3=41，D选项正确。

「质数」是非常特殊的数，像本题这样关系非常明确的，不需要进一步考虑，直接逐个代入就行。题目中5a和6b之和只有76，稍微多代入几个数据就能很快得出结果。

另外，本题列式子a=（76-6b）÷5代入也是可以的。

三、注意分析「水流」对速度的影响

【2012国考69题】一只装有动力桨的船，其单独靠人工划船顺流而下的速度是水流速度的3倍，现在该船靠人工划动从a地到顺流到达b地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少。

船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划桨的速度的多少倍?　
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5

船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划桨的速度的多少倍?　
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5

正确率58%，易错项C

列出题干数据关系：
①V划船顺流=3V水速
②划船顺流A→B，原路动力浆返回B→A用时比来时少2/5
③求静水时V动力浆和V划船的速度之比

根据①可知：
V划船=2V水速

设水速为1，则V划船=2，根据②描述，可设划船顺流从A到B之间的用时为5（方便计算），则：
A→B路程=3×5=15
B→A时间=5×（1-2/5）=3
因此B→A速度=15÷3=5

根据②可知B→A为逆流，即：
B→A速度=V动力浆-V水速

因此V动力浆=B→A速度+V水速
=5+1=6

可知V动力浆：V划船=6:2=3，B选项正确。

本题需要注意，根据「回程比去程用时少2/5」的叙述，可设去程用时为5，这样可以非常方便计算。

凡是涉及「顺水逆水、上坡下坡」的，一定要记得分析水流和坡度对速度的影响。

四、理解排列组合题的关键

【2012国考70题】有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位。

5对夫妻恰好相邻而坐的概率是多少?
（A）≤1‰
（B）1‰~5‰
（C）5‰~1%
（D）＞1%

5对夫妻恰好相邻而坐的概率是多少?
（A）≤1‰
（B）1‰~5‰
（C）5‰~1%
（D）＞1%

正确率31%，易错项B

列出题干数据关系：
①5对夫妻，一个圆桌
②10个座位，随机安排
③恰好相邻，求其概率

③所要求的概率为：
5队夫妻恰好相邻的安排数量/总安排数量

需要注意本题是「一个圆桌」，即夫妻ABCDE和BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD的排列情况是相同的，也就是说，根据①将5队夫妻视为整体，则整体安排数量为：
A（5，5）÷5=2×3×4

夫妻内部有夫左妻右、夫右妻左两种情况，因此5队夫妻内部的排列情况为2的5次方，即5队夫妻恰好相邻的安排数量为：
2×3×4×2的5次方

10人同样位于「一个圆桌」，同理其总安排数量为：
A（10，10）÷10=2×3×……×9

即：
5队夫妻恰好相邻的安排数量/总安排数量
=2×3×4×2的5次方/（2×3×……×9）
=2的5次方/5×6×7×8×9
=2/5×3×7×9=2/945，A选项正确。

本题即使不考虑「圆桌」的排列，最后结果也是1/945，同样位于A选项范围内。总体来看，这道题还是很人性化的。

理解了本题，就理解了大部分公考中的「排列组合」题。

五、利用非负整数解三元一次方程

【2012国考72题】三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的作品列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等。

下面说法正确的是：　
（A）A等和B等共6幅
（B）B等和C等共7幅
（C）A等最多有5幅
（D）A等比C等少5幅

下面说法正确的是：　
（A）A等和B等共6幅
（B）B等和C等共7幅
（C）A等最多有5幅
（D）A等比C等少5幅

正确率42%，易错项C

列出题干数据关系：
①3位专家，10幅作品投票
②每人5票，每幅作品都有专家投票
③3位投票A等，2位投票B等，1位投票C等

根据③，可设ABC等作品分别有abc个，则可得三元一次方程组：
┏3a+2b+c=15 （1）
┃
┗a+b+c=10 （2）

（1）-（2）消元，可得：
2a+b=5

由于a必须为非负整数，该式显然只有三个解：
a=0，b=5，此时c=5
a=1，b=3，此时c=6
a=2，b=1，此时c=7

一一代入4个选项：

A「A等和B等共6幅」错误，正确描述应为「共3、4或5幅」
B「B等和C等共7幅」错误，正确描述应为「共8、9或10幅」
C「A等最多有5幅」错误，正确描述应为「A等最多有2幅」
D「A等比C等少5幅」正确，3个解都符合该条件。

本题虽然是只有2个方程式的「三元一次方程组」，理论上有无数个解，但由于「非负整数」的限制，实际上只有三个解，快速代入即可得出结论。

需要注意B、C等不能为0幅，A等可以为0幅。

三、「百分数」类题目要赋值100

【2012国考73题】某市气象观测，今年第一、第二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。

今年上半年该市降水量同比增长了多少?
（A）9.5%
（B）10%
（C）9.9%　
（D）10.5%

今年上半年该市降水量同比增长了多少?
（A）9.5%
（B）10%
（C）9.9%　
（D）10.5%

正确率58%，易错项B

列出题干数据关系：
①今年一二季度降水比去年同期增长11%、9%
②两个季度降水量绝对增量相同
③求今年上半年该市降水量同比增长情况

根据①②描述，可赋值去年一季度的降水量为100，则：
100×11%=去年二季度×9%

去年二季度=100×（11%÷9%）=1100/9
今年一季度=100×（1+11%）=111
今年二季度=去年二季度×（1+9%）
=1100/9×（109/100）
=11×109/9=1199/9

今年上半年降水量/去年上半年降水量

=（111+1199/9）/（100+1100/9）
=（2198/9）/（2000/9）
=2198/2000=1099/1000=109.9%

今年上半年同比增长=（今年上半年降水量/去年上半年降水量）-100%
=109.9%-100%=9.9%，C选项正确。

本题关系较为复杂，计算需要有一定耐心，但总体难度还是可以接受的。

「百分数」类的题目一般要赋值100，方便计算。

七、速度类题目，需要拆开分步计算

【2012国考74题】甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽误，9：00才出发，为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时。

甲什么时候才能追上乙?
（A）10：20　
（B）12：10
（C）14：30
（D）16：10

甲什么时候才能追上乙?
（A）10：20　
（B）12：10
（C）14：30
（D）16：10

正确率31%，易错项B

列出题干数据关系：
①甲乙从A到B，乙7:00出发，甲9:00出发
②V甲=2.5V乙，但甲跑半小时休息半小时
③求甲追上乙的时间

题干数据关系简单，直接赋值即可。设乙每小时速度为1，则甲为2.5，由①②可知，甲乙初始距离为：
1×（9-7）=2

根据②的描述，以1小时为周期分析甲和乙接近的情况，即甲乙每小时接近：
2.5×0.5-1=0.25

注意甲先跑后休息，因此甲追上乙最后一段的半个小时，甲乙距离接近：
2.5×0.5-1×0.5=0.75

即通过分段计算，当甲乙距离接近0.75及以下时，直接再加0.5小时即可追上乙。

因此甲乙距离剩0.75时，花费的时间为：
（2-0.75）÷0.25=5

因此甲追上乙的时间为：
9:00+5+0.5=14:30，C选项正确。

本题需要注意，如果上述计算不能被0.25整除，则按照甲乙最后一段距离不到0.75来算，重新计算最后一段的时间即可。

和「二人速度」有关的题，一定要仔细考虑两人行动的具体情况。

八、圆与圆覆盖、相交的难题

【2012国考75题】为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头。

花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

正确率41%，易错项C

列出题干数据关系：
①花坛半径10m
②喷头浇灌半径5m
③求布置多少个能保证都浇到

本题正确率不高，但这道题如果熟悉了就会发现其难度很低，是一道比较经典的和「覆盖」有关的题目。
可以发现，喷头想要尽可能高效地覆盖到花坛，就需要用每个喷头来覆盖住一段花坛圆边上部分。当覆盖面积最大时，喷头浇灌小圆的直径和圆上的弦重合，如下：

可发现大圆弦上两点和大圆圆心组成等边三角形，每个小圆覆盖60°的弧：

因此，需要6个小圆才能覆盖完整个大圆360°的圆弧。
同时，以大圆圆心为小圆圆心，在内部未覆盖部分画一个小圆，小圆半径恰好和外圈小圆与内圈小圆相交形成的弦相同：

结果如下图：

因此总共需要6+1=7个小圆，B选项正确。

关于圆和圆覆盖时相交的情况，只要理解了这道题，就基本掌握了这一类题。

注意不要忘了中间部分还需要一个小圆。

九、避开题干中的陷阱描述

【2012国考76题】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每盒装12个苹果，小包装盒每盒装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

两种包装盒相差多少个?
（A）3
（B）4
（C）7
（D）13

两种包装盒相差多少个?
（A）3
（B）4
（C）7
（D）13

正确率44%，易错项B

列出题干数据关系：
①99个苹果装进两种包装盒
②大盒装12个，小盒装5个，共用10+个
③求两种包装盒相差多少个

根据①②可知：
12×「大盒」+5×「小盒」=99
→「小盒」=（99-12×「大盒」）÷5，且「大盒」+「小盒」＞10并＜20

数据较小，直接逐个代入即可：

大盒=1，小盒=87÷5，不成立
大盒=2，小盒=75÷5=15
大盒=3，小盒=63÷5，不成立
大盒=4，小盒=51÷5，不成立
大盒=5，小盒=39÷5，不成立
大盒=6，小盒=27÷5，不成立
大盒=7，小盒=15÷5=3
大盒=8，小盒=3÷5，不成立

大盒=7，小盒=3时，共用10个盒子，不符合「共用10+个盒子」的要求，排除。因此共用大盒2个，小盒15个，两者之差为15-2=13个，D选项正确。

此类题一定要当成送分题来做，难度非常低，逐个代入即可。一定要列出所有情况，然后排除不符合题干要求的数据。

十、百分数，就要赋值100

【2012国考74题】某项工程由A、B、C三个工程队负责施工，他们将工程总量等额分成了三份同时开始施工。当A队完成了自己任务的90%时，B队完成了自己任务的一半，C队完成了B队已完成任务量的80%，此时A队派出人力2/3加入C队工作。

A队和C队都完成任务时，B队完成了其自身任务的（ ）
（A）60%　
（B）80%
（C）90%
（D）100%

A队和C队都完成任务时，B队完成了其自身任务的（ ）
（A）60%　
（B）80%
（C）90%
（D）100%

正确率47%，易错项A

列出题干数据关系：
①ABC等额施工
②A完成90%时，B完成50%，C完成50%×80%=40%
③A的2/3加入C，求AC完成时B完成的量

题干有百分数，可设ABC施工的工作量为100，由②可知：

A完成90，B完成50，C完成40
A：B：C的工作效率为9:5:4

此时A余下10，C余下60。A的2/3加入C，则：

A余下工作效率为9×（1/3）=3，需要工作时间为10/3
C总共工作效率为4+9×（2/3）=10，需要工作时间为60/10=6

显然C后工作完，即B在余下50的工作量中工作时间为6，B余下的工作量为：
50-（5×6）=20，完成了（100-20）/100=80%，B选项正确。

需要注意C完成了B完成任务量的80%，而不是总任务量的80%。另外，「A派出2/3的人力加入C」的含义即为「A将2/3的效率分给C」。

一般来说，只要有百分数的题目，赋值100是最方便的做法。

十一、极限题的简单思路

【2012国考79题】草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过它们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子?
（A）40
（B）60
（C）80
（D）100

最少需要准备多少米长的绳子?
（A）40
（B）60
（C）80
（D）100

正确率33%，易错项B

列出题干数据关系：
①旗杆高度1~5m
②任意两根旗杆距离不超过高度差10倍
③求围住旗杆，最少需要准备多少米长的绳子

本题要求取旗杆间的极限距离。显然当一个旗杆5m，另一个旗杆1m的时候，两者距离为40m最长，此时用80m的绳子可以将其「对折」后围住，C选项正确。

注意此类题一定要直接考虑极限距离，所有旗杆在一条直线上才能使其距离最远。有兴趣的小伙伴可以尝试一下旗杆不在一条直线上的情形。

十二、对棱锥体积公式的考察

【2012国考80题】连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如下图所示)：

已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米?
（A）18√2
（B）24√2
（C）36
（D）72

已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米?
（A）18√2
（B）24√2
（C）36
（D）72

正确率52%，易错项D

本题非常简单，但需要考生记住棱锥的计算公式。

把正八面体横向「劈开」，可分成上下两个四棱锥，棱锥的体积公式为：V=1/3Sh

其中S为底面积，h为高

显然S棱锥=1/2S正方体，如图：

h棱锥=h半个正方体，因此：

V四棱锥=1/3×1/2S正方体×h半个正方体
=1/3×1/2×（6×6）×3
=18

V正八面体=2V四棱锥=2×18=36，C选项正确。

本题考察的是考生对公式的理解和记忆，如果完全没有印象，那么这道题是做不出来的。初中几何基础的掌握程度，也是公考的考察对象。