柄谷行人《探究Ⅱ》第二部：关于超越论的动机||第四章 斯宾诺莎的几何学

翻译：T君、Va-11 Hall-A

校对：恐怖如斯

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《探究Ⅱ》第二部第三章指南：

《探究Ⅱ》

第二部 关于超越论的动机

第四章 斯宾诺莎的几何学

第1节

在斯宾诺莎那里，观念与表象的区别之所以重要，是因为他所做的工作，一言以蔽之，是对表象（想像的知识）的批判，并且这一批判是基于作为“无限的实体”的神的“观念”而可能的。作为表象的神与作为观念的神是不同的。正如后文将要论述的那样，斯宾诺莎是依据观念来批判作为表象的神的，这一点非常重要。

但是，实际上只有在把神=无限置于对位之时，观念才能作为观念、也即作为与“人类通过对事物的抽象把握而形成的概念”完全不同的东西而被认识到。我们不能像看待事物那样看待无限，因而唯有抽象地想像无限。我们平时所思考的无限是没有限度，也就是说没有边界（無際限，译者注），属于表象。它只不过是“人类通过对事物的抽象把握而形成的概念”而已。

笛卡尔的“广延”同样是可能性上的无限，也即没有边界。例如，笛卡尔的解析几何学，在把图像转换为数的结合（坐标）的时候，现代数学所直面的诸问题就诞生了。希腊人虽然已经注意到了无理数，但是却禁止谈论它。他们只把数作为自然数之比（analogia）来看待。但是当我们像笛卡尔那样把线段化为数的时候，就必须考虑紧密相接一般的实数，而非自然数。一旦连续的线段被置换为数，就会变为一个类似于古代芝诺悖论的问题。数与数之间可以找到无数的数，但说来奇怪的是，它们都是连续存在的。莱布尼茨的微分法试图从代数上解决这个问题。也即，他从作为表象的数中脱离出来，把无限小以符号的方式，表达为dx/dy这样的比。

例如，切点作为曲线中的无限小，自身是一（点）；但同时它包含着方向，“表现出”（表出，译者注）整条曲线。作为无限小的这一个点，可以说是“形而上学的点”。在这一意义上，它无法分割，也没有部分，而且“表现出”全体。打个比方的话，它就是莱布尼茨的单子。按照笛卡尔的思路，如果物体是广延的，那么它的一个终极要素：不可分（individual），也就是不可能的。莱布尼茨并不将无限当做没有限制的事物，而是积极地在一（点）之中找到了无限。由此，无限性，或者说这样的个体（单子）是在个体自身之中被发现的。这样，微分法和单子论，在莱布尼茨那里是不可分离的。

微分法使得以符号表记无限的方法成为可能，可以说莱布尼茨的独创性就在于像这样以积极的方式将无限符号化。下村寅太郎这样写道：

在亚里士多德和经院哲学的伦理学中，无限推理是一种诡辩。即使在笛卡尔那里，无限也不过是作为无限定（indefinitum）而被消极地对待。（中略）无限主要还是停留在形而上学的问题上。斯宾诺莎同样认为“一切的限定都是否定”。结果，无论是笛卡尔还是斯宾诺莎都没能采取积极的立场来处理无限的问题。然而自伽利略以来，无限的概念实际上已经在天文学和力学中作为近世学问的基础概念而起作用。前述奠定近世数学基础的诸业绩，也是将这些天文学、力学的问题作为直接的动机，与曲线和曲面的测定计算的实际问题相关联而确立起来的。问题在于其原理层面上的确立：莱布尼茨的微分法实现了处理无限的普遍方法及其原理的自觉。正是因此，微分法不仅是近世学问的基础概念的基础，而且也标志着作为其形式的形成的、近世数学的确立。

——《莱布尼茨》，みすず書房

莱布尼茨的微分法在数学史上确实是划时代的成果，但问题在于这个“原理的自觉”，也即它所附带的形而上学的意义。就 “表现出”全体的一（单子）这一想法而言，无限以一种积极的方式被表达了出来。反过来看，莱布尼茨却是以“全体性”来表达无限性。在这里又一次出现了将个与类（特殊性与一般性）联系起来的新的逻辑。按照他的思路，一个一个的单子之中是“没有窗子”[1] 的，也就是互相分离的同时，又在“宇宙各实体（单子）之间预先被规定好的相互关系”的意义上相互“交通”，也即所谓的“预定调和”。

[1] 译者注：モナドは部分を持たない厳密に単純な実体であるから、複合的なもの同士が関係するような意味で「関係」することはできない (第7節) （モナドには窓がない）

与下村寅太郎所说的恰恰相反，斯宾诺莎的无限的观念是“积极的”。例如“一切限定都是否定”，是将有限视为无限的否定，而这恰恰与将无限作为有限的否定（无限定）消极地（negative）看待相反。由此，涉及一与全体、特殊性与一般性的、打破这一“概念”的闭环的，只能是积极的无限的“观念”。从数学史的角度来看，不用说笛卡尔，即使是莱布尼茨也不能说已经对无限有所思考。真正实现了这一点的，是试图将其作为数、积极地处理无限的19世纪中叶的康托尔。相比莱布尼茨，康托尔的做法更接近斯宾诺莎。当然，斯宾诺莎并没有做出对此做出过思考，他也不是像笛卡尔和莱布尼茨那样的、数学史上杰出的数学家。但是，可以说在《伦理学》之中的确有着某种数学思维。

 

第2节

例如，马克思曾写道：

你在写作中必须克服的困难，我尤其清楚，因为十八年前我曾对容易理解得多的哲学家——伊壁鸠鲁进行过类似的工作，[注：卡·马克思《德谟克利特的自然哲学与伊壁鸠鲁的自然哲学的区别》。——编者注]也就是说，根据一些残篇阐述了整个体系。不过，我确信这个体系，赫拉克利特的体系也是这样，在伊壁鸠鲁的著作中只是“自在地”存在，而不是作为自觉的体系存在。即使在那些赋予自己的著作以系统的形式的哲学家如象斯宾诺莎那里，他的体系的实际的内部结构同他自觉地提出的体系所采用的形式是完全不同的。

——《1858年5月31日 致拉萨尔》，译文选自《马克思恩格斯全集》第29卷

“自觉地提出的体系所采用的形式”（意識的に叙述された形式，译者注）自然指的是几何学的形式。在十七世纪，人们普遍认为几何学的叙述形式不过是一种时尚。因此，可以认为斯宾诺莎所想要表达的内容并不在这一表面形式之中。然而，人们在读斯宾诺莎的时候，或许有些过度脱离他几何学的形式了。“实际的内部结构”难道不正潜藏在这一几何学的形式之中吗？换句话说，一种与笛卡尔不同的几何学恐怕就隐藏在《伦理学》之中。为了看清这一点，我们来看看作为非数学家的布鲁诺的观点。

布鲁诺的宇宙论在以哥白尼的观点为基础的同时，也远远地超越了它：哥白尼没能从根本上否定亚里士多德-托勒密传统的宇宙观。比如，他依然以亚里士多德的不动的天圈为前提。依靠观测和“数学的”整合性是不可能打破亚里士多德的宇宙论的，布鲁诺之所以能够否定它，可以说是托了自然哲学的思辨的福。不过这并不是一种单纯的思辨，而是在其中潜藏着某种新的几何学：一种在当时尚未被视为数学的几何学，一种非欧几何。布鲁诺认为：

……无限数存在之处，既没有程度也没有顺序。这是因为程度和顺序所表达的，是一种在不同的种和类、或者同一的种和类不同的度之下，从其所具备某种理或者价值出发之时的状态。

——《论无限宇宙和诸世界》，清水纯一译，读者可参照田时纲译本

用康托尔的话来说，布鲁诺在这里说的是无限集合与有限集合的差异。康托尔的对角线法俨然是基于“无限数存在之处，既没有程度也没有顺序”的产物。例如在有限集合中，自然数的数量是奇数的两倍，但在无限集合中二者的数量一致。亚里士多德所说的程度的、质的区别，只能在有限集合、也就是一个被限定了的内部（cosmos）讨论。以“无限”为前提，则会使得有限（内部）和无限定（外部）的区别无效化。

换句话说，布鲁诺的宇宙论中潜藏着，或者说暗中要求着新的“数学”。笛卡尔的解析几何学也好，莱布尼茨的微分学也好，都没能满足这一要求。这一要求直到19世纪后半叶的数学才首次得以实现，而爱因斯坦也因此与布鲁诺不同：他能够以黎曼几何学为基础做出思考。

在布鲁诺那里，非欧几何同样已然被悄然纳入其考量之中：布鲁诺以球面为模型展开思考。正如托多洛夫所暗示的那样，布鲁诺的宇宙论是与发现新大陆所致的“世界”的封闭相互联系的。（参考本书第三部）

例如，布鲁诺认为“世界和宇宙是不同的东西”。“这是因为，既然把宇宙称为一的无限，那么就必须把这两个词语区别开来。”（同前）他认为，宇宙（天）是一，是“包含诸世界的无限的普遍空间”。如果把“世界”理解为共同体、把“宇宙”理解为社会的话，就不难理解这一点了。也就是说，以一个共同体为中心的思考至多不过是一个“世界”而已，无论怎样以“普遍的”去观察它，它也不过是一个共同体（世界）罢了。

……作为一个从以太的领域与诸世界之中合成出来的连续体，让我们将无限的宇宙称为一。我们应当认为存在无数个诸世界：在这个宇宙的各种领域之中，它们就和我们所在的这个世界、这个空间、领域被如此考虑、如此存在一样地，存在着、且始终存在着。

——同前

在这里，“本民族中心主义”可以说被彻底地否定了。无论怎样的世界（共同体），在某种意义上都具有同一存在方式，因此不能说任何一个世界是普遍的或者说是中心。普遍的只能是包含诸世界及其间隙（以太的领域）在内的无限的空间。可以说，在斯宾诺莎那里的也是这样的几何学。

 

第3节

再说一次，布鲁诺无疑是从球面模型中获得了这种认识。我们不能在缺乏这样的模型（表象）下思考问题。非欧几何实际上也是根据这样的球面模型来考虑的。另一方面，数学始终是形式（观念）的。我们可以从斯宾诺莎和现代公理主义的类比来看待他的观念和表象的区别。

在现代数学中，公理并非直觉上不言自明的东西，而只是被视为一种任意的形式。定理则是通过逻辑演绎从一组公理中推导出来的。在这种情况下，公理的形式并不意味着任何东西，也不与任何对象联系在一起。把这种形式作为具体的东西来“解释”的东西，被称为这个公理系的“模型”。

通常，当我们从某些经验中获得抽象的、一般的概念时，后者会被称为模型。举个例子，在历史学中，像“封建制度”或者“产业资本主义”这样的概念，是在西欧史自身这个特殊案例的基础上被“普遍化”的概念。然而，如果想要将这个普遍概念运用于其他地区，将会遇到困难。这种情况下，这个普遍概念只不过是表象(意识形态)。不用多说，这便是斯宾诺莎所拒斥的那种看法，即“人类通过对事物的抽象把握而形成的概念”。所谓的“普遍性”大概就是这样的一般概念，而斯宾诺莎恰恰把它看作是一种表象。

在数学中，很有可能会出现某个公理系在一个解释模型中是真的、在另一个解释模型中则是错的的情况。这便是公理系不充分的情况。此时必须对公理系进行修正。斯宾诺莎认为，这样得到的一个万全的公理系统可以被称为“观念”。如果牢记这一点，上一章所引用的下面这段话应该很容易理解。

但是，为了我可以知道从事物的许多观念中找出什么观念能推知对象的一切性质，我只注意一点，即该事物的观念或界说（観念ないし定義，译者注）应当表现它的动因（causa efficienti）。例如，为了研究圆的性质，我问，从圆的这个观念、即圆是由无数的直角组成，我是否能推知所有它的性质，我就是说，我研究这个观念是否包含有圆的动因。既然它不是这样，那么我就找寻另一个观念，即圆是由一端固定另一端活动的直线所描绘的空间，既然这个界说表现了动因，所以我知道我能从它演绎出圆的所有性质，等等。再，当我把神界说为无上圆满的存在，既然这个界说不表现动因（因为我认为动因可以是内在的也可以是外在的），所以我就不能从它得知所有神的性质。但是当我把神界说为……一个存在（参阅《伦理学》第一部分界说六），……

——《斯宾诺莎书信集》第60封，译文选自洪汉鼎译本

也就是说，我们可以认为：一个能够推导出某一事物的所有特质的“观念或界说”，对应于一个对任何解释模型来说都十分恰当的公理系统。因此，以斯宾诺莎的例子来说，“神是无上圆满的实体”的定义是一般概念，“神是无限的实体”的定义是观念。

斯宾诺莎根据观念来批评表象。这样看来，他演绎的公理主义存在必然性。也就是说，他的“几何学的叙述”是必然的。与之相比，笛卡尔的理论中欧式几何的叙述则是偶然的。这就是斯宾诺莎之所以在“几何学上”对其进行重构的原因。这并非是欧式几何的简单应用，因为从某种意义上说，欧几里得的公理主义也是偶然的。

例如，在欧几里得的公理中，所谓的平行线公理从一开始就饱受质疑。“平行线不相交”（这是欧几里德公理的通俗说法）这一论断，仅仅建立在我们的直观（知觉）的基础上。在非欧几何中，则设想了一个平行线相交的无限远点。“无限”并非知觉和表象的“对象”。因此在引入“无限”的时候，并不只产生了非欧几何。从严格的意义上来说，公理主义本身诞生了。

就像布鲁诺所说的那样，斯宾诺莎的理论中同样暗含着几何学。和笛卡尔不同，斯宾诺莎的几何学可以说是一种设想了实际无限（実無限，译者注）的数学。可以说，笛卡尔和斯宾诺莎的公理系是不同的。然而，其实不仅如此。就像现代数学因为涉及到“无限”而成了公理主义（形式主义）一样，斯宾诺莎为了把“无限”作为观念来把握，他的理论必然(也即不是作为赶时髦或修辞学的目的)会成为公理主义。

再说一次。斯宾诺莎的“几何学式的叙述”并非对时代的流行或者是对笛卡尔的模仿，而是一种具有强烈的、只能这样表述的认识的必然形式。我们不能简单地抛弃这种叙述形式，或者说抛弃“无限的观念”。“无限”不是没有边界的超越者。在这一超越不再可能的意义上，“无限”封闭了世界。这时，内部与外部、本质与现象、真理与幻想、精神与身体这些二分法都悄然被迫停止。