连计算机都束手无策的方程，16岁高中生看完都会算了（终）

(为叙述简单，本文中所有椭圆曲线均为CP^2的射影子簇、实平面R^2指RP^2的仿射坐标卡U_2:={[x:y:1] | x,y为实数})

在视频中的最后一步求解过程中，我们通过对椭圆曲线上的一个有理点P计算n次累加求和n*P:=P+···+P并最终“幸运地”(?)得到了一个正有理数点。

事实上此时一个很自然的问题是：对于一个(任意的)有理点P是否一定存在正整数n使得n*P为正有理数点。因为如果这样的n并不存在，盲目地计算P+···+P显然是毫无意义的。

在这篇笔记中我们将从理论的角度讨论这一存在性问题。

首先注意到对任意整系数椭圆曲线E，由Mordell-Weil定理torE(Q)为有限生成阿贝尔群，特别的，满足ord<∞的有理点实际上只能存在有限个。因此不失一般性我们仅考虑无穷阶有理点。

回顾实代数几何中的定理：若E的判别式大于零，则实形式E(R)同构于正交群O(2,R)；若判别式小于零，则E(R)同构于特殊正交群SO(2,R)。但不论以上哪一种情形，拓扑群或动力系统的一般理论都告诉我们，有理点E(Q)的任意无穷子半群在实解析拓扑下在E(R)的含单位元分支SO(2,R)中稠密。

因此只要E(R)的含单位元分支和实平面R^2的第一象限有交点，由连续性，对于E上任意的无穷阶有理点P都存在足够大的正整数n使得n*P所对应的的坐标为一组正有理数。

【例1：通过直接观察函数图像(或粗略的不等式估计)就可以发现本系列视频中的方程f(a,b,c)=0所定义的椭圆曲线E的实形式E(R)在其含单位元分支上的确存在一个点使得a,b,c均为正实数。又因为，视频中最后一步所选取的整数点P在前几次的迭代中就已经出现了非整数的(x,y)坐标值，由Nagel-Lutz整性定理我们得到ord(P)=∞，因此由上文的分析，视频中所做的运算P+···+P只要迭代次数足够多，是一定可以得到正有理数点的。】

不过需要注意的是，在一般情形下这样的正整数n是不一定存在的。这是因为通过合适的旋转和平移很容易使得一个存在无穷多个有理点的椭圆曲线与实平面R^2的整个第一象限都无交点。

而实际上更进一步的，即使一条存在无穷多个有理点的实椭圆曲线E(R)与实平面R^2的第一象限存在交点，我们仍不能保证E上存在正有理数点。这是因为，确实存在一类具有无穷多个有理点的椭圆曲线E使得E(R)非连通并且其有理点全部位于含单位元分支內，例如Cremona第359a1号：

y^2+xy+y=x^3-23x+39。

写在最后：衷心感谢您耐心看到这里！本文撰写仓促难免疏漏谬误，不妥之处敬请斧正！   ———— Mani_food 23/2