很水的数学分析115：拓扑空间中的收敛性和Hausdorff公理

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一、Hausdorff空间

1.在一般的拓扑空间上（而非在度量空间上），讨论收敛会有问题，同时单点集有可能不是闭集，这两点跟之前的“经验”不一样。例2.59、2.60反映了这两点，两个例子本质上都是因为b和c的任一邻域都无法排除a。

为了情况变“正常”，引入Hausdorff条件，即T₂公理。

（绕明白这逻辑，得对一般拓扑空间中的开集、邻域、收敛定义足够清晰）

（1.5 命题2.27。有限集是一个Hausdorff空间当且仅当它是一个离散拓扑。

该命题说明有限集用处不大。）

2.定理2.25。在Hausdorff空间中任何点列至多收敛到一个点。（证明过程跟证明数列极限唯一性一样）

3.定理2.26。在Hausdorff空间中任何单点集都是闭集。（证｛x₀｝是闭集只需证｛x₀｝ᶜ是开集。证明中再次用到A∩B=∅⇔A⊆Bᶜ这层逻辑，具体而言是通过U(x)∩U(x₀)=∅得知U(x)⊆U(x₀)⊆｛x₀｝ᶜ）

①推论：在Hausdorff空间中任何有限集都是闭集。

②例2.62说在有限补拓扑中，单点集都是闭集，但不是Hausdorff空间。

从而引出了Fréchet条件，即T₁公理。

4.分离公理。成体系总结T₀，T₁，T₂，。。。

二、连续映射。

1.设映射f：X→Y。其中(X,τₓ)，(Y,τᵧ)是拓扑空间。则f在X上连续当且仅当∀U∈τᵧ，f⁻¹(U)∈τₓ。

也就是说判断连续映射不要仅仅看定义域和陪域，还要仔细看是在什么拓扑下。

2.数学分析中主要研究的几类映射。基本上不出IRⁿ范围。

3.证明平面曲线若参数方程函数连续，则曲线映射是连续映射。