在无线通信的信道建模，高斯白噪声模拟 等方面，我们都会碰到 瑞利( Rayleigh)分布 , 也经常碰到 circularly symmetric random variable 的说法。

什么是circularly symmetric random variable ？ 就是形如  的随机变量，其中  X, Y 都是均值为0 相互独立具有相同高斯分布的随机变量。 则这个复随机变量的模长 |Z| 就符合 瑞利分布，其概率密度为：

另外，角度  满足 之间的均匀分布。

为什么这个复数随机变量称之为 circularly symmetric ?

我们把复数的实部和虚部分别看成两个实值随机变量，均值都是 0 的独立同分布（高斯分布）。则其联合概率:

我们把这个联合概率的图，画在三维空间中，z 轴是概率的值，另外两个轴分布代表实部的 x 和虚部的 y，则其图形如下（摘自 wiki ):

可以看到 图形是对称的，且是 circularly.

转成极坐标

令

则

那么

所以:

因为  相互独立，所以：

# 仿真

产生两个 0均值，相互独立，单位方差的高斯随机变量

用 hist() 函数，计算  的概率密度

然后，用我们的理论公式也计算出来概率，画图比较，发现两者重合。

Matlab/Octave 代码

* 基本是翻译的这个文章：Deriving PDF of Rayleigh random variable (dsplog.com)