留数定理应用的小易错点||数理方法

//我们在之前的文章里已经了解过，借助复变函数的留数定理可以计算实变函数的定积分。

//我在写习题的时候发现一个需要注意的小问题。

我们在留数定理一章中：

提过以下定理：

若在上半平面除有限个奇点外解析，实轴上无奇点，且时，一致趋于0，则有

题：求

法1：注意到被积函数为偶函数，则有

其中在上半平面有奇点

而留数容易计算，

于是所求积分值为

法2：利用欧拉公式，

其中

所以现在两个方法的结果不一样了。

这是一个易错点，问题出在前面定理的使用条件：

时，一致趋于0.

法一中的分子为

而是无法在上半平面收敛到0的，这就导致以上条件无法满足，法一是不能使用留数定理的！

所以法二才给出了正确结果。

这就是我遇到的小问题。

但同时对我来说这也是一个非常重要的问题。它提醒我任何时候使用定理都需要注意条件。

不然要白给。