一道高中概率题引出的思考

缘由是这样的

原题比较简单，数学期望只与和有关，将两种排列情况比较一下就行了。但是我在想当人数不止3人时，又要怎么排列呢？

因为我的数学能力本来就很烂，所以我的思考可能过于复杂。如果你有更好的思路，欢迎在评论区分享。

（以下均认为q是p的一种排列且）

首先要定义一样东西:

或者还可以写成：

二者是等价的，你可以用数学归纳法证明，也可以这样去想：当我们算概率时，从正面考虑，就是第一个式子，从反面来考虑就是第二个式子，真是非常amazing啊。

我们来研究一下这个东西有什么性质。

1. 的大小只和的数值有关，和的排序无关。

   从第二个式子可以看出，是轮换的，说明它们排列的顺序对的大小没有影响，这是从原题的第一小问得到的启发。

2. 当集合时，取最大值；反之，当集合时，取最小值。

接下来根据定义出来的来化简

根据性质一和二，当时，取最大值；当时，取最大值。两方面结合，当且仅当时，取最大值。

以此类推，当且仅当时，取最大值，即取最小值。

至于为什么会想到定义完全是由于第一小问的启发，这也体现了守恒的思想：当p排序发生变化时，是恒定的。

所谓万变不离其宗，找到守恒量是一个很有效的方法，这在自然科学上有很多例子。物理中的能量守恒、动量守恒，化学中的平衡常数、三大守恒关系，都能看到变化当中的守恒量。