【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep9】数字革命：有理数到实数——顺“序”再开始
大家好，喜欢读数学书的老碧又来了，我们在Ep6介绍完无理数的定义之后，插入两个特别篇，《【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep7】数字革命：顺“序”开始or逆向发展？》和《【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep8】数字革命：顺“序”开始&逆向发展》去聊了聊数学的研究思路最常见的两种形式：顺向发展，逆向发展。
同时也在阐述的过程中确定了一件事，数学理论的体系，现阶段是没什么“大娄子”的。从“公理化集合论”出发，导出“排中律”的必然成立，导出数轴上的点对应的数分为两种，是“有理数的数”与“不是有理数的数”。
我们也提到，这种分类方式虽然逻辑上没毛病，但是我们无法从这个“模糊”的关于无理数定义上导出任何有用的性质或结论，所以不能纳入数学体系的一部分。——我们需要更加明确，且具有功能性的定义。
Ep8中我们聊到，明确来源于
1.范围明晰，用客观依据，而非主观认知来描述事物；——精确性
2.所指明晰，给定一个描述，即确定唯一的内容。——消歧义性
而，“功能性”则来自于，我们可以拿这个定义进行数学过程，如计算，推理，证明，等等。
为了达到这个目的，数学家对数采取了不同的分类方式，常见的有两种：
将所有数都表达成无限小数的形式，如果是3.5，就记作3.500000……或者3.499999……，那么就将数分为两种，无限循环与无限不循环小数，由此导出无理数的定义“无限不循环小数”；
注：
1.是不是与“排中律”形式十分统一？（是A的元素/不是A的元素）
2.为什么3.50000……=3.49999……？（我们之后会详细证明）
引入戴德金提出的“有理数分划”的概念，将有理数拦腰切成两段——下组和上组，两段满足以下性质——
“不空”：两个集合都必定包含元素；（逻辑上[符号语言]来说，不包含任何元素的“空集”和包含一切元素的“全集”如果合在一起，也构成有理数集，所以要排除这种可能性）
“不漏”：两段合在一起便是有理数；（取集合的“并”）
“不重”：两个集合无公共元素；
“不乱”：下组里面任意一个元素都比上组的元素小。
（这四点来自方启勤老师的《数学分析》。国内采用“戴德金分割”的定义方式的除了这本书，还有就是陈天权老师的《数学分析讲义》，其他的，记不清了。）
这种分划逻辑上分四种类型，
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值；
4.上组下组都有最值。
第四种情况我们用有理数的“稠密性”证明了不可能存在，于是分划只分为三种类型：
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值。
显然，其中第1，2种情形都对应了有理数作为分界线——“界数”——的情况，于是每一个有理数都对应了两个分划。本着数学定义的“消歧义性”，人为规定，把“界数”归为上组或下组，因教材而异。这本书取，“界数”落在上组的情况，作为有理数的定义形式。
这样，数与分划实现了“一一对应”。
按照这种定义，我们今天继续来看，有理数的所有公理对无理数是否也成立。
7实数域的序
先定义“等于”：
再定义“大于”：
分两种情形——
1.无理数与有理数的比较
意思是，每一个无理数对应一个“有理数的分划”，其中下组的有理数比这个无理数小，上组的则比它大。（“下小上大”）
2.无理数与无理数的比较
也就是以下组为依据，两个不同无理数的确定的”有理数的分划“，下组大的无理数大；
从集合论的观点来说，就是如果我们发现，一个无理数确定的“有理数分划”的下组包含另外一个，则这个无理数大。（“下大则大”）
下面我们就来由无理数“序”的定义，来验证有理数成立的三条“序公理”：
“三歧性”，“传递性”和“稠密性”。
这三条性质，对于有理数，是这样的：
3.三歧性
我们先由无理数的定义验证性质一：
由无理数的“分划”定义结合简单的逻辑推理——任取两个不同的数a，b确定的分划，他们下组之间存在且仅存在三种可能的关系：前者包含后者；前者后者重合；后者包含前者——对应界数关系：a>b，a=b，a<b。（证毕）
所以“无理数的序”满足“三歧性”。
4.传递性
我们继续验证性质二：
如果我们已知三个数：a>b且b>c——由“大于”定义：a，b，c各确定三个分划1,2,3，其中1的下组包含2的下组，2的下组包含3的下组，那么由集合论也好，或者简单的逻辑推理也好，1的下组包含3的下组——即：a>c。（证毕）
所以“无理数的序”满足“传递性”。
至于“稠密性”的验证略复杂，我们下次再说！
