浅谈高等数学（3）

第三期 导数的定义

导数，作为唯一一个在中学系统教授的高等数学知识，在各种函数的极值、凹凸性、单调性等诸多问题中发挥着重要作用；同时，显而易见地，它应该是高数里最简单的一块了吧——你非要这么说也未尝不可，因为它确实是高数的重要基础，而且我们在小学二年级都学过。应当说，从导数起，我们才算真正进入了高等数学中的一大板块——微积分。

（声明：无穷小的比较、连续性与间断点之后都会讲述到）

导数，在多门学科中都有所体现，但这诸多的体现都有个共同点，那就是“变化率”。变化率指的是一段时间内某一数值的变化与时间之比，它反映了事物的某一可用数来衡量的特性增减的快慢。反映到函数上，就是两点间连线的斜率，也就反映了函数增减的快慢。导数前，我们认识一个函数的增减是定性的，也就是说只能知道函数是增还是减。但我们有一种感觉，能“大差不差”地判断增减的快慢：一直是以一个速度增加的，而在内是越增越快，之后几乎笔直上升……可究竟有多快呢？我们也说不清。

导数恰恰解决了我们的困惑，它就描述了函数增减的快慢。那导数怎么求呢？

我们实际是要知道函数在某一个区间内的变化率。这个区间应当是在不对实际结果产生影响的范畴之内的，毕竟数学是一门应用学科。没有人喜欢误差，那——能不能没有误差呢？生活中我们总说理论上可以，实际操作不可能。但现在必须很明确地指出，这回理论上也不行了——函数在一个点处根本没变化啊？难道做分母为0的计算吗？我们不禁想到了前述的知识：极限。没错，还是“逼近”的思想，这一思想贯穿微积分的始终。请看下图：

这是的图像，现在我要求它在处的增加速度，也就是在处的增加速度。我们的目标是：让自变量的增量（以后均称“变化”为“增量”，记变量的增量作）无限趋于0，但严格不等于0，此时先联结和离得较远的，得到了一条直线，它的解析式我们都会求，是。然后，依次联结与一串点：，又得到三条直线：。这样的操作可以无限进行下去。这些直线解析式的一次项系数，也就是它们的斜率，近似地刻画了函数在处的变化率。两个点取得越近，算出的变化率也就越精准。当两个点取得无穷近（但不重合）时，算出的变化率就是完美的。

我们发现，只要取的那个点离足够近，就可以得到图中的红线。这条红线，也就是与离它无穷近的点的连线，被称为函数在该点处的切线。切线的斜率，也就完美地刻画了函数在该点处的变化率。请注意：这切线看似与函数的某一范围内只有一个交点，但实则“有两个”，一个是时，一个是取离0.4无穷近的数时——否则，怎么通过一个点来确定一条直线，从而判断函数的变化率呢？

当无限趋近于0时，显然也无限趋近于0。这给了我们一些启示：如果某些函数在某点处当（从两边）趋近于0时无法做到也趋近于0，或说在某点处根本没有定义呢？那么比值当时的极限，也就是所谓的导数，就不存在了。这时，我们说这样的函数是在该点不可导的；反之，就是该点可导的。

铺垫都已做好，我们不妨动手求一下切线的斜率，也就是函数在该点处的导数。

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因此，函数在处的导数，也就是切线的斜率，就是.我们进而发现，在这个函数的每一点处似乎都能有一条切线，都有一个导数。我们不妨求一下由这每一点上的每一个导数所构成的导函数。

这就意味着，有了这个式子，我们就可以知道这个函数在任何一点处的导数，而不用一个一个去求了。下面给出定义：

定义  设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量获得增量时，因变量也获得增量，且与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，称这个极限为函数在点处的导数，记作

或或或

若函数在开区间内可导，对于任一的全体导数构成的一个新的函数，称为原函数的导函数，记作

或或或

其中，称为“微分符号”，用于表示一个趋近于0的增量。有了这个符号，我们就不需要再写极限符号了。

对于需要记忆的公式而言，第一和第二种记法自然更为简洁，我们在此后的定理及公式中多用这两种。但是，后两者着实比前两种优越得多，尤其是最后一种最为明了。我们发现，如果把改成，我们就会发现可以看做一个新的对应法则（也就是）。这两种记法还有更多的优越性，将会在以后陈述。