X和数独是一种特别可怕的变型数独，它也涉及外提示，不过它和摩天楼数独几乎没有关联，却和杀手数独有一些关系。

Part 1 规则介绍

如图所示，X和数独的规则是，在满足标准数独的前提下，在盘面的外围的对应行列方向都给予了提示的数值，数字表示，当前方向上连续数个单元格的填数总和。至于需要计算多少个连续单元格的和，则由当前方向看过去的第一个位置的填数给定。

比如D行左侧的外提示数35，观察到，最外层的第一个单元格是数字6（D1），所以会统计包含在D1在内的、当前方向上的六个单元格的填数和，并且它们的填数和为35。

又如H行左侧的外提示数为40，观察到最外层的第一个单元格的数字8（H1），所以会统计包含在H1在内的连续八格的填数和，它们的和为40。

这种题目更为新颖的是，它甚至连推导使用的求和数量都不给你了，需要自己推导得到，也是比较难的一种变型数独。

下面我们来看一下，X和数独需要使用到的数独技巧。请注意，因为它有一些杀手数独的意味在里面，所以有一小部分技巧是从杀手数独派生而来的。

Part 2 简单唯一余数

完成这样的题目，建议先从最外层开始寻找外部提示的一些基础结论，然后到里面的方式完成。

初盘的所有X和外提示数，可以直接得到一些唯一的结论。

观察到A1，它的左侧和上方的外提示都是1，这说明前面数个单元格的和值为1，但仔细思考一下就可以知道，提示为1说明只能是1才满足要求。所以，A1必然是只可以填入1的。

同样地，我们可以观察A9，发现它的右侧和上方都是45。显然，在杀手数独之中我们就知道，一个区域内全部数字的和就是45，不能比这个数还大。所以我们可以知道，要想统计9个数的和，只能让第一格是9才行。因此，A9就填入9。

当然了，观察I2，I2下方的外提示数是3。如果想统计出数字和为3的情况，只可能让最外层的第一格为2。如果是其他的情况则显然都不行：如果最外层的第一格是1，则无法统计到后续数字，不能得到3；如果最外层的第一个单元格是3，则要统计三个数，但填入的数字已经达到3了，所以这也是不满足要求的。所以，这个数只能是2，因此，I2只能是2；当然了，如果I2是2，而外提示是3的缘故，所以从外到内的第二个单元格（H2）就只能是1了。

那么，我们就可以像这样的推导思路，将盘面内的所有数字全部得到。

当然了，这样类似的结论你可以自行推导出来，哪些情况是唯一的。这里作出一个总结。

当你在后续看到这些外部提示数后，就可以立马得到第一格的填数了。

当然了，只有唯一的情况的时候太少了，所以这里给大家罗列出一个参考表格，提供查阅。

[1]这里没有数字4的情况，因为没有合适的组合情况可以得到数字4的结果（4=2+2，但数字2重复了）。

如图所示，这是X和数独的一个参考量表。最左侧是最外层第一个单元格的填数，表格最右侧则是，填入这个数的时候，对应的外提示数的可能范围。比如观察数字3，它所在的行上，对应的虚线下方是5和9的交线和数字20和27之间的交线，所以数字3的范围在5到27；又如数字7，对应找到下方虚线处，则7的范围是28到42（27右侧有一个较小的单元格，没有填数，因为“28”显示不下）。

这个X和数独的量表比较复杂。那么怎么使用呢？如果看到一个外提示数是37，则找到37所在的位置，如图所示。

随后发现，37穿过了6、7、8所在的横条。所以最外层第一个单元格的填数一定是6、7、8的其一。同理，这个表格里也将唯一的情况罗列了出来，例如外提示数为5的时候，利用类似的思维查表，可以看到它只穿过了2所在的横条。所以第一格只可能是2。

这个表格相当重要，虽然可以自行推导得到此表，但因为为了后续叙述方便，和你理解的方便，这里给出此表，可以让你在理解后续逻辑的时候，查表快速得到这些结果。但是，一些基础结论还是需要你记住的，例如之前的唯一情况的表格。

Part 3 复杂排除

如图所示，观察第1列，发现数字2只有唯一一处可以填。首先，和值为27和35的外提示数对应的最外围第一格是显然不可能填2的。所以，2只能填入到F1。

同样地，虽然没有数字3的提示，但是盘面内还有数个2和3的结论，需要你自己推到并寻找一下。这些数字将在下一节写出来。

Part 4 复杂唯一余数

如图所示，可以根据查表的方式，得到H1填入的数字是7或8。但因为上方有7的数字排除，所以H1只能填入8。

Part 5 复杂数组[1]

如图所示，观察A行，我们通过表格可以知道，外提示数为35、18、26的第一个单元格的候选数分别是{456}、{45}、{456}。这符合数组的要求。

数组的规定是，需要n个单元格内，填入n种不同的候选数的情况。这里是三个单元格A578，填入的数字只有4、5、6三种数字。所以它形成了规格为3的数组结构（我们称为三数组）。

于是，A行其余位置都不能填入4、5、6[2]。简单理解就是，因为A578内只能填入4、5、6，那么它们的填数是可以随意换着来的，所以4、5、6一定出现于其中，跟其他单元格无关。所以A行其余位置的4、5、6都不可以填了，因此A4可以排除5和6的可能。随即得到A4填入数字7。

[1]这一节内容用到数组的知识点，所以为超纲数独技巧。但由于这个技巧也是X和数独里比较重要的技巧，所以依然被罗列在其中。

[2] 实际上，你可以观察到，A行还可以直接观察数字7和8即可，可以直接得到A46两格可以直接形成关于7和8的隐性数对。而这思考起来可能会比较怪异。因为我们在以前都是使用提示数和填入的数字作出排除才能得到隐性数对，而此处其实不需要，只看候选数就可以了。我们可以直接观察到，A行能够填入7和8的位置只有两处：A4和A6。而恰好，既然只有两处，所以7和8在这两格内的填数位置就可以产生两种情况，我将其概括为“此8彼9”和“此9彼8”，即当前格是8的时候，另外一格就是9；反之亦然。所以，其实没有必要观察这里的显性三数组结构。

Part 6 和差关系

实际上，杀手数独有和差关系外，X和数独也是具有和差关系的。下面我们来看一则示例来理解它，看一下X和数独里，和差关系是怎么运用的。

如图所示，我们可以观察到，通过刚才的复杂数组结构，可以直接得到两个数字7和8。

我们观察第6列，可以观察到，第6列上方的最外层第一格填入的是数字8，说明要累计连续的八格填数。那么这样一来，就只剩下一格没有被计算：I6。

显然，和值为40是不好推理的，所以我们需要作出正难则反的思考方式：这一列一共所有的数字的和为45，除开未被计算的数字外，和值为40，所以没有被计算的数字一定是45-40=5。所以，I6就是5。

Part 7 45法则（满贯法则）

杀手数独之中，利用45法则可以直接得到一格的排除填数，在前面的叙述之中，我们知道它分为凹/凸排除两种。不过，在X和数独里，45法则的使用则是完全不同的。不过，我会先给出结论，再说明推理原因和过程。

如图所示，观察E行，E行上的两端的外部提示数之和为45。所以，对端两格的填数（E1和E9）的和一定为9，所以E1的填数应为9-2=7。

现在我们来思考一下为什么。首先我们知道，其中一边的第一格填数是2，则计算的是其中两格的数字和，为5。

现在来观察对应的另外一侧的外提示数40。它表示数个单元格的和是40，但不知道这一个单元格的填数是多少，也就无法确定最终要统计的数字的个数。

但是，我们知道，这一行的所有填数的和为45，这说明九个单元格的填数一定是45。而其中两格的填数的和为5，所以剩余七个单元格的填数肯定是45-5=40。

但是恰好，另外一侧的外提示数是40，这说明了这七格的填数肯定都是被计算了的，且一定和为40。所以，当且仅当七格的填数全部计算在内，才可能达到40，因此最外层的这一个单元格的填数必然为7才行。此时我们就发现2+7=9的神奇结论。所以，我们可以严谨而正确地得到，如果两端外提示和为45，则两端的外层第一个单元格的和必然是9。那么进一步地，你可以继续思考一下，如果两侧的数字都没有填的话，只给出了外提示数，这个结论（和为9）还能否成立。答案是肯定的，但此处就不给出原因了，需要你自己思考。

另外，这个说法还有一个推广情况。如果对面的两个外提示数字的和小于45，则两侧的第一个单元格的填数和一定小于9；同理，如果和大于45，则两个单元格的填数和则大于9。

Part 8 分裂总和

分裂总和是将杀手数独之中的分裂虚线框推广得到的X和数独技巧。

如图所示，我们发现，A2上方的外提示数为16，而第一位的填数为3，所以ABC2的和为16，进而可以知道，BC2的填数和为16-3=13。这里就用到了将16分解为两个部分的思路。

然后发现，能够填入到BC2内，且和为13的组合只有6和7这一种（13=4+9=5+8=6+7，而9无法填入到BC2之中，显然不能形成这种组合；而5也不能填入到其中形成5和8的组合，所以只剩下6和7）。

随即观察C1，发现C1只能填入4（根据查表可以得到和值为27的第一个单元格的填数只能是4、5、6，而5被第1个宫内的B3排除填数可能，而6则被这个6和7形成的数对结构排除）。

Part 9 练习

本节设了4个习题，所以希望你在努力熟悉了前面的技巧后，方可进行解题。

答案如下：