函数极限的性质证明

牛顿318、函数极限的性质证明

2020年12月29日，网友“稻草人”发表名为《极限——函数极限的性质证明》的图片文章。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

图片内容：…

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

8. 定理：如果（x→x0）lim f（x）=A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域u（去心）（x0），当x∈u（去心）（x0），有|f（x）|＞|A|/2。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

…∈：属于…见《牛顿303》…

证明：当A＞0时，（x→x0）lim f（x）=A，根据极限的定义（如上图）得：对ε=A/2，∃（存在）δ＞0，使得当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|<A/2，即A/2<f（x）<3A/2

∴ 0<A/2<f（x）

…∃：见《牛顿309》…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

当A＜0时，（x→x0）lim f（x）=A，根据极限的定义得：对ε=—A/2，∃（存在）δ＞0，使得当0<|x-x0|<δ时，|f（x）-A|＜—A/2，即3A/2<f（x）<A/2

∴ f（x）<A/2<0

 

∴ 当A≠0时，有|f（x）|＞|A/2|，得证。

“若B≠0，则lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x）=A/B

请看下集《牛顿319、证明“ lim[ f（x）/g（x）]=lim f（x）/lim g（x） ”》”

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