《微积分》《高等数学》全程教学视频--宋浩老师
1.1集合 函数与极限
1.集合：一些确定的对象或事物，由元素所组成；集合用大写字母表示，元素用小写字母表示（eg. a∈A）
有限集：元素个数有限个
无限集：元素个数无限个
2.集合的表示方法
- 列举法：{1，2，3，4}
- 描述法：{a｜a具有的特征}
Z是全体整数
Q是全体有理数
R是全体实数
R+全体正实数
R-全体负实数
R*除零以外的实数
3.子集：集合与集合之间
A ⊂ B或B ⊃A：A包含于B
*集合与元素之间是属于或不属于的关系：∈
eg.A={1,2,3},B={{1,2,3},{1}}→a=1则a∈A,A∈B
集合相等：A⊂B,B⊂A⇨A=B（空集∅是任何集合的子集）
4.集合的运算
A∪B，A∩B，A-B ，全集Ω，补集
A∪B=B∪A；A∩B=B∩A；（A∪B）∪C=A∪（B∪C)；（A∩B）∩C=A∩（B∩C)
*A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
A∪B的补集=A的补集∩B的补集
A∩B的补集=A的补集∪B的补集
直积：A×B={（a，b）｜a∈A，b∈B}
(a,b）是有序对
*A×B≠B×A讲究顺序，集合不讲究顺序
5.区间
开区间：（a,b)
闭区间：[a,b]
半开半闭：[a,b);(a,b]
有限区间/无限区间（＋∞，-∞）
(＋∞)-(+∞)不确定
(+∞)+(+∞)=+∞
(-∞)-(-∞)不确定
(-∞)+(-∞)=-∞
(+∞)-(-∞)不确定
6.邻域：U（a，δ）=｛a-δ＜x＜a+δ｝表示以a为中心，δ为半径
去心邻域：U（â，δ）={x｜0<｜x-a｜<δ}去掉中心。
1·4数列极限
1、数列：X1,X2，...，Xn--无穷数列{Xn}
单调增数列：X1≤X2≤X3≤...≤Xn
单调减：X1≥X2≥X3≥...≥Xn
2、有界数列：|Xn|≤M，反之则是无界（无穷大or无穷小）
3、极限： 设有一个数列{Xn}，若存在常数a（极限），使得任给ε＞0，总存在N，当n＞N时，|Xn-a|＜ε（即落在了以a为中心，以ε为半径的领域里），我们就叫作{Xn}以a为极限（或{Xn}收敛于a），记作
*①用定义证明极限：只需要找到一个N成立就可以（只要有一个就会有无数个）
②求极限：求解过程中需要做出n＞某个数，如果是＜就需要检查
4、数列极限的性质
（1）性质一：如果数列{Xn}是收敛的，那么它的极限一定是唯一的（收敛于a=极限为a）
证明（反证法）：
（2）性质二：如果数列{Xn}是收敛的，那么它一定是有界的
证明：
*有界是收敛的必要条件，不是充分条件（eg.1,-1,1,-1....)
即有界推不出收敛，但收敛可以推出有界
*单调有界，则有极限
（3）性质3：如果数列{Xn}有极限a，且a＞0（或a＜0），那么ヨN，n＞N，xn＞0
证明：
(4)子数列：数列Xk=X1,X2,X3,X4,X5.....从中抽出指定的项组成新的数列Xkn=X1,X3,X6,X7,X8......，则数列{Xkn}是数列{Xk}的子数列
eg.Xk=1，2，3，4，5，6，7，8....
Xkn=1，3，6，7，8.....
*子数列的次序必须和主数列的次序一样
*kn≥n
（5）性质4：如果数列{Xn}收敛于a，那么任何子数列{Xkn}也收敛于a
证明：
①推论1：如果找到一个子数列不收敛，则原数列发散
②推论2：如果找到两个子数列，虽都收敛，但极限不同，那么原数列发散
③推论3：原数列收敛的充分必要条件↔找奇数项与偶数项构成的子数列都收敛，并且极限都相同
*只找到一个收敛的子数列，原数列不一定收敛
1·5函数极限（一）
1、当x→+∞时，f（x）→a
定义：设函数y=f（x），若ヨ常数a，
∀ε＞0，总ヨX，使得x＞x时，|f（x）-a|＜ε，记作limx→+∞f（x）=a
Eg.理解定义：a=1，∀小邻域半径0.01，都可以找到X，使得X之后的x完全落在邻域里
*数列极限的证明：∀ε＞0，找N=[]+1（N必须取整数）
2、当x→-∞时，f（x）→a
定义：设函数y=f（x），∀ε＞0，ヨX（X＞0）x＜-X，使得|f（x）-a|＜ε
3、当x→∞时，f（x）→a
定义：设函数y=f（x），∀ε＞0，ヨX＞0，都有|x|＞X，使得|f（x）-a|＜ε
4、当x→x0(x是取不到x0的）时，f（x）→a
定义：设函数y=f（x），f（x）在x0的去心邻域内有定义（即在x0处可以没有定义）ヨa，∀ε（ε是a的小邻域的半径）＞0，ヨ△（△是x0的邻域的半径）＞0，使得0＜|x-x0|＜△时，|f（x）-a|＜ε
*x的变化趋势与x0处是否有定义，取值是什么没有关系
5、左极限：x→x0-（即x从x0左侧趋近)时，∀ε＞0，ヨX＞0，都有0＜x0-x＜△，使得f(x)→A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左极限，记作
6、右极限：x→x0（即x从x0右侧趋近)时，∀ε＞0，ヨX＞0，都有0＜x-x0＜△，使得f(x)→A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左极限，记作
7、x→x0的函数极限存在的充要条件
*证明极限是否存在的思路
①只要能证明左（右）极限不存在，则x→x0不存在
②左、右极限都存在，但极限不相等，则x→x0不存在
例题
1·5 函数极限（二）
1、函数极限的性质
（1）性质1：如果极限存在，那么它一定是唯一的
（2）性质2（局部有界性）：如果函数的极限存在，一定存在x0的去心邻域，使得在这个邻域里f（x）是有界的
*去心的原因：x0是极限
（3）性质3（局部保号性）：如果函数的极限是a，且a＞0，那么一定存在一个去心邻域，使得在这个去心邻域里f（x）＞0
（4）性质4：假设当x→x0时，函数f（x）的极限是a，如果a存在，其充要条件是当x→x0时，取任意的一个数列{xn}，当xn是以x0为极限的时候，f（xn）[将xn代入f（x）]的极限也必须是a
*从两种角度理解：
函数：连续
数列：分散（离散）
逆否命题：①如果找到一个数列{xn}，它的极限不存在，则函数的极限不存在；②找到两个数列{xn}的极限（需趋于x0），但是极限不相等，则函数的极限也不存在
例题
1·6 无穷小（0）与无穷大（＋∞/-∞）
1、无穷小的定义：如果f（x）→0，f（x）的极限为0，则函数f（x）称为无穷小（要注明变化过程）
2、无穷小的定理：
***（1）无穷小（→0）×有界是无穷小
有界：一般是三角函数居多，做题时加上绝对值即可
例题
（2）函数极限与无穷小的充要条件：函数f（x）的极限是a↔函数f（x）=a+α（x），其中α（x）的极限为0
理解：两边同时求极限
3、无穷大的定义：函数f（x)→+∞/-∞
4、无穷大的运算性质
（1）无穷大×无穷大=无穷大
（2）无穷大+有界=无穷大
（3）+∞+（-∞）=常数/+∞/-∞
（4）+∞+（+∞）=+∞
（5）-∞+（-∞）=未定式
（6）＋∞/+∞=未定式
（7）c（常数）×无穷大=0（c为0）/无穷大（c为非0常数）
5、无穷大的定理
（1）如果函数f（x)是无穷大，则1/f(x）是无穷小
（2）如果函数f（x）是无穷小，则1/f(x）是无穷大
*x必须是同一变化过程
1·7 极限的运算法则
1、定理一（四则运算）若limf(x)＝a，limg(x)＝b
1)limf(x)±g(x)＝limf(x)±limg(x)＝a±b
2)limf(x)g(x)＝limf(x)·limg(x)
3)limf(x)/g(x)＝limf(x)/limg(x) [b≠0]
前提：f(x)、g(x)的极限存在才能分开
推论一：limcf(x)＝climf(x)
c可以往外提的条件：①常数；②与x无关的变量
前提：f(x)的极限存在
推论2：limf（x）^n=（limf（x））^n
