12讲搞定《全等三角形》【初二数学200讲】八年级数学全集：概念课、习题课 |

定义

经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。

根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。

性质

1．全等三角形的对应角相等。

2．全等三角形的对应边相等。

3. 能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4．全等三角形的对应边上的高对应相等。

5．全等三角形的对应角的角平分线相等。

6．全等三角形的对应边上的中线相等。

7．全等三角形面积和周长相等。

8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。

判定过程

在第一行写要进行判定全等的两个三角形；第二行画大括号，分别写判定的三个条件，并注明理由；在第三行写出结论，并说明理由。

五种理由

1.公共边；2.已知；3.已证；4.公共角；5.由定义推到的角，如“对顶角相等”。

最后一行，写两个三角形全等并注明理由.（如图1）（若为直角三角形，在第二行须先写明两个直角相等并为90度，再写两个斜边、直角边分别相等）。

（例：Rt△xxx与Rt△xxx）（提示：线段的垂直平分线上的一点到线段的两个端点的距离相等）

注意

三个角对应相等的两个三角形不一定全等，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等。

例题

SSS（边边边）即三边对应相等的两个三角形全等.

举例：如图3，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.

证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=DC.

∴△ACD≌△BDC.（SSS）

∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）

图三

SAS（边角边）即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.

举例：如图4，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.

证明：∵AB平分∠CAD.

∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.

∴△ACB≌△ADB.（SAS）

∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）

图四

AAS（角角边）即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.

举例：如图5，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.

证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.

∴△ABC≌△EDC.（AAS）

∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）

图5

推论

利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：

SSS（Side-Side-Side）（边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

SAS（Side-Angle-Side）（边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应相等，且这两条边的夹角（即这两条边组成的角）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

ASA（Angle-Side-Angle）（角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应相等，且这两个角的夹边（即公共边，）都对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

AAS（Angle-Angle-Side）（角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应相等，且其中一个角的对边（三角形内除组成这个角的两边以外的那条边）或邻边（即组成这个角的一条边）对应相等的话，该两个三角形就是全等三角形。

HL定理（hypotenuse -leg） （斜边、直角边）：直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，该两个三角形就是全等三角形。

证明

一般来说线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。

然后把所得的等式运用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：中线倍长，截长补短等。

分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

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