【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep91】函数极限第二定义

上次说到海涅归结原理及其证明——

海涅归结原理：函数f在a处有极限A的充要条件是，对任何一个收敛于a的数列{xn}（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限A.

根据这个定理，能够得到函数极限的第二定义——

函数极限第二定义：对任何一个收敛于a的数列{xn}（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限A.

更进一步，只要：对任何一个收敛于a的数列{xn}（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限，则该极限必重合——

证（反证法）——

1. 对两个收敛于a的数列{x'n}和{x"n}，数列f（x'n）和f（x"n）有不同极限A'和A"；

2. 将上述两个数列构造成一个新的数列x'1，x"1，x'2，x"2，……，x'n，x"n，……，该数列亦收敛于a；

3. 那么得到新的对应的函数的数列f（x'1），f（x"1），f（x'2），f（x"2），……，f（x'n），f（x"n），……是没有极限的，与条件“对任何一个收敛于a的数列{xn}（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限”矛盾，故而得证。

到这里！