考研数学09：函数特殊点问题

极限章节的应用部分主要分为两点。第一是极限比阶问题。比阶问题的一个重要应用就是反常积分审敛法。反常积分申敛的核心不在积分而在于极限比阶。而且这种题目的难度被高估的非常严重，其实是一类非常简单的题目，可能我会在之后详细介绍。另一个就是连续性问题。这个问题也是贯穿始终的，而且包含两个方面。一个是连续性，一个是间断点。针对抽象函数习惯于判断连续性，研究对象包含函数各种运算的连续性，比如求和求积复合的连续性。而且还会判断祖孙三代的连续性，比如导函数连续性，变限积分连续性等等。针对间断点则是多针对于具体函数。其实从间断点出发可以归纳出考研数学常考的特殊点体系。 (1)无定义点。大家普遍对无定义点的认知其实是有问题的，所以会导致很多概念性的问题。首先需要明确的一点是我们研究函数性质的时候是基于定义区间的，无定义点，无定义区间找出来是用来丢掉的。我们不去研究包含无定义点，无定义区间的函数性质。这是原则。最能体现这个原则的就是导函数。导函数存在的意思就是函数在区间处处可导，也就是导函数处处有定义，如果存在不可导点，那么函数在包含不可导点的区间是没有导函数的。这就体现出不研究无定义点，无定义区间的原则。其实函数也一样。我们去研究函数的性质其实需要去丢掉那些无定义点，无定义区间，因为研究这些地方没有意义。 怎么去寻找无定义点？很容易找漏。其实秘诀就是基于基本初等函数的性质按一定的顺序查找即可。如： 1: 幂函数。这主要注意两种类型。第一，开奇次方根，根号内部小于0是无定义区间，第二，分母为0的点是无定义点。 2：指数函数。定义域为R，没有无定义点。但是指数函数在极限计算中容易出极限趋向方向问题。 3：对数函数。≤0为无定义区间。而出现绝对值和平方时，如ln|x|，lnx²，x＝0为无定义点。 4：三角函数。tanx、secx，x＝kπ+½π无定义。cotx，x＝½kπ无定义。cscx，x＝kπ无定义。 5：反三角函数。arcsinx、arccosx，在x＞1时以及x＜-1时无定义。arctanx、arccotx定义域为R，注意极限计算的趋向方向问题。arcsecx、arccscx，在-1＜x＜1时无定义。 6：复合函数f(g(x))。从里到外层层递进。先找g(x)无定义点，再找f(u)无定义点u0，令g(x)＝u0。 (2)间断点。可疑间断点包含无定义点和分段函数分段点。无定义点一定是间断点。但是就如同我之前说的，一定要将无定义点和其他间断点从概念上分开。间断点是可以有定义的。这就像概率论里面的不可能事件和概率为0的事件一样。概率为0的事件包括不可能事件。但是我们研究概率论永远是在可能事件上进行研究。研究一个不可能事件的概率是没有意义的。概率本身就是对可能性事件中可能性大小的假设。研究函数性质，也包括连续性，其实应该把无定义点，无定义区间丢弃的。 (3)不可导点。可疑不可导点其实可以包含分段函数分段点以及导数公式求导结果的无定义点。 (4)极值点。可疑极值点包括不可导点、导数为0的点。判断极值的方法就是极值定义。其中极值定义最常与两个内容结合。一个是泰勒公式，这就是大家记的极值导数结论的由来，一个是极限保号性。 (5)最值点。可疑最值点包括极值点以及端点。 可以看出这些特殊点的判断都是层层递进的。不同类别特殊点之间存在关联，所以做了一个汇总。其他的自行补充吧。