从罗尔定理的发现可以看出，这个定理其实很简单，就是当有一段弧线其起点和终点完全相等的时候，那么，这段弧线的中间，一定存在一个点，这个点的切线和X轴平行，也和直线

AB平行。我们知道，导数等于0的点，其实就是极值点。由于AB两点的纵坐标相等，所以这段弧线如果有向上增加的过程，就必然有下降的过程，也就是必然存在至少一个这样的极值点。

从上面拉格朗日中值定理的推导过程可以看出，与罗尔定理的差别仅仅在于改变了弦线AB的方向，从而证明的问题也变成了在弧线上查找一个点，这个点的切线方向还是和AB平行。

从上面的证明过程可以看出，拉格朗日定理还是套用了罗尔定理的条件，即两个端点的函数值相等。为了达到这个目的，拉格朗日构造了一个在端点处自己减自己的函数，因为A,B两点同时既属于f(x)，又属于直线AB，从而保证了这个辅助函数在两个端点处满足罗尔定理的条件，两者函数值相等并且都等于0。

柯西中值定理则是在拉格朗日的基础上，进一步将这种情况拓展到了参数方程。

从罗尔中值定理到拉格朗日和柯西，我们可以清晰地看到科学创新的轨迹：

1：后者和前者一样，都是证明曲线上存在某个点和弦AB平行；

2：后者创造条件也要满足罗尔定理的端点条件。

所以后者是在前者的基础上，根据实际情况的需要，通过改变前人已有成果的应用条件和领域，从而得出一个有意义的创新成果。