为什么我们要理解几何意义
看完这个系列的视频的目标。-形成正确的几何直观
1 向量
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 01:41
三种角度看向量
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 02:29
数学角度思考
向量加法与数乘
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 05:32
加法-把向量看成往某个方向迈出一段距离
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 07:13
乘法-向量的伸缩
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 08:23
数学家为何如此定义？
01 - 向量究竟是什么？ P2 - 08:47
向量的意义在于在数值形式与箭头形式的转化之中。
2
向量：-基-张成空间-线性相关
基
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 00:43
第三种看待向量的角度-两个标量“缩放向量并相加”压缩拉伸，可以构成二维内任何的向量。
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 02:01
不同的基向量可以构成不同的坐标系-线性变换-（涉及到特征值，矩阵p等第四章第五章概念）
基的线性组合
（理解了，一堆向量的线性无关组合构成了n维坐标系的基）
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 03:24
如何理解线性—如果二维坐标系里一个固定，另一个能够画出直线（好牛逼的思想）
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 03:50
（只有线性无关才能张成新的空间，也就是秩）
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 04:31
张成空间的另一个角度解读：仅通过加法与数乘两种基础运算，能够获得的所有可能向量的集合
or，张成空间就是向量所有可能的线性组合
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 05:02
想象一个向量时，用箭头，多个时，用点想象向量
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 07:41
举一反三，三维中讨论。
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 08:00
几何想象
02 - 线性组合、张成的空间与基 P3 - 08:49
线性相关的理解
e3 矩阵与线性变换
让线性代数的其他内容一目了然
03 - 矩阵与线性变换 P4 - 01:12
“变换”而不是函数，暗示强调是一种运动
03 - 矩阵与线性变换 P4 - 02:50
线性的含义（pa=b，好熟悉）
一种直观化：网格线平行且等距
只要记住两个基的变换，就能够推断出其他向量变化后的位置，而不必观察变换本身。
03 - 矩阵与线性变换 P4 - 05:59
矩阵的意义：一个二维变换的规律可以由一个矩阵来表示（所以说前面是竖着的，后面横着的，因为竖着是坐标！）（但是计算的时候自己有自己规律）
03 - 矩阵与线性变换 P4 - 07:57
矩阵的列看作基向量，向量乘法看作是线性组合
03 - 矩阵与线性变换 P4 - 10:10
总结：矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。
一个矩阵就是一种特定的空间线性变换。
4
04 - 矩阵乘法与线性变换复合 P5 - 02:30
复合变换：所以矩阵乘法就是两个相继的变换，是作用的合成。懂了。
04 - 矩阵乘法与线性变换复合 P5 - 04:27
与复合函数类似。
04 - 矩阵乘法与线性变换复合 P5 - 05:17
纯计算
04 - 矩阵乘法与线性变换复合 P5 - 06:47
简单的推导过程，但是给我建立了更好的概念型框架。
04 - 矩阵乘法与线性变换复合 P5 - 08:38
通过概念去自然而然的理解矩阵的结合律成立，交换律不成立的原因。良好的解释大于象征性证明。
e5 推广到三维
e6 行列式（期待）
几何意义：是区域在经过线性变换之后相对于单位面积，拉伸挤压的比例，即面积大小。
行列式为0的几何意义：矩阵是线性相关的，张成的空间被压缩降维。（线性相关与行列式的关系明白了）
行列式为负数：矩阵使得坐标系被翻转了。
计算推导
e7逆矩阵，列空间，零空间，秩
线性方程组是矩阵的一个应用
06 - 逆矩阵、列空间与零空间 P8 - 02:59
找到这个x使得在经过变换a之后与v重合-用几何的直观想象过程来解释求解这一堆负责的方程组。
关键在于这个变换矩阵A，会压缩吗
如果行列式不为0，存在唯一解；就会有逆-逆矩阵的意义在于实现一个什么也不做的变换。（后续可以把一些向量先带到其他坐标系计算再带回来）于是就可以用逆矩阵解得x。
如果为0，空间被压缩为0体积，不存在逆变换了，“不能把一条线解压缩为一个平面”。于是只有0解？解仍然可能存在，比如压缩成的线条空间刚好与v重合。
列空间：
06 - 逆矩阵、列空间与零空间 P8 - 08:14
秩；零向量必须在列空间中
06 - 逆矩阵、列空间与零空间 P8 - 08:57
列空间：矩阵的列张成的空间。eg：后面的基向量是三维，列空间线性相关，三维却只能张成二维空间，那么秩为2。
满秩的概念
0空间：列空间包含0空间？？满秩变换后，唯一能落在原点的就是0向量自己；
06 - 逆矩阵、列空间与零空间 P8 - 09:57
非满秩的时候，有一堆向量会在变换后成为0向量。这些向量的集合就是0空间，也就是齐次方程Ax=0的解集。
09 基变换
j矩阵向量乘法的第二种解释：转变坐标系。
左边是新系的基向量在本系的表达（可以看作一个线性变换），后面是新系的变化。通过乘法，得到本系的所求向量的表达方式，也就是消除误解，变换为新系真正提到的向量。
形象理解：把它看作我们对于她的向量的误解，也就是她实际上想说的东西在我们眼里到底是什么。
如何转化一个矩阵？或者说如何通过最方正好算的坐标系，来得到那些歪七杂八的坐标系里旋转后的向量？
p-1*a*p=b，效果：一种数学上的转移作用。
p-换到我的系；a-转移动作；p-1-变回她的系。因为正交坐标系是运算最方便的，都得找你当中介。（我好牛逼！这是第五章内容捏）
a：我们的语言描述的变换；b：他们的语言描述的变换（说不定会更方便，比如相似对角化
10 特征向量与特征值
10 - 特征向量与特征值 P14 - 01:11
回顾之前的知识板块
特征向量：经过变换拉扯之后仍然在自己张成的空间内！（我回忆起来了
特征值：仍然在自己空间里的向量会被拉长或者缩短几倍。
10 - 特征向量与特征值 P14 - 04:10
这两个概念有啥用：特征向量可以成为三维物体的旋转轴（此时特征值应该为1）！考虑一个三维旋转按照某个轴旋转成一定的角度，比考虑相应的矩阵直观！
10 - 特征向量与特征值 P14 - 04:54
10 - 特征向量与特征值 P14 - 05:33
j计算特征值
10 - 特征向量与特征值 P14 - 07:21
把问题演化成求这个齐次方程的非0解，并且这个矩阵还得是降维的，不满秩的
10 - 特征向量与特征值 P14 - 13:49
如果基向量是特征向量-对角化？？！！
如果我们的特征向量多到能够张成全空间，那么我们就能够改变坐标系，让这些特征向量成为基向量。
10 - 特征向量与特征值 P14 - 16:11
能够简化的运算：如果要计算一个转移情况的100次幂，就先换到特征基上，然后计算100次对角矩阵，再转化回来。（前提是特征向量能够张成全空间！
11 抽象向量空间
11 - 抽象向量空间 P15 - 01:42
11 - 抽象向量空间 P15 - 04:45
线性的严格性质：可加性，成比例。
11 - 抽象向量空间 P15 - 05:50
线性的意义
11 - 抽象向量空间 P15 - 09:08
基函数（让我想到了控制的空间
11 - 抽象向量空间 P15 - 11:23
线性变换与函数求导的联系。
那些公理，就像是发送文件时的协议，只有遵守了这些协议才能够沟通，运用相同的规则。
11 - 抽象向量空间 P15 - 14:49
为什么定义要如此抽象，以及我们完全可以用一些直观的东西帮助我们去初步理解。——普适的代价是抽象。
11 - 抽象向量空间 P15 - 15:49
学习的过程真的只能来源于解决问题。
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