【数学竞赛-复数】别让三角太嚣张，复数才是最屌的

2023-08-27 19:49 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

在小学二年级时，我们就学过欧拉公式

$e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%3D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Ctheta$

这个公式很好地将三角函数和复数联系在了一起，这也意味着很多三角问题可以转化成复数问题来做，就比如下面这道题

已知 $%5Csin%5Calpha%EF%BC%8B%5Csin%5Cbeta%2B%5Csin%5Cgamma%3D%5Ccos%5Calpha%2B%5Ccos%5Cbeta%2B%5Ccos%5Cgamma%3D0$ ，求证： $%5Csin2%5Calpha%2B%5Csin2%5Cbeta%2B%5Csin2%5Cgamma%3D%5Ccos2%5Calpha%2B%5Ccos2%5Cbeta%2B%5Ccos2%5Cgamma%3D0$

初看这道题可能就直接二倍角展开了，但是尝试过后发现并没有什么用

此时观察题目条件和结论，它们有一个共同的特点，即正弦和与余弦和都等于0

而在复数中，我们知道一个复数要等于0，那么其实部和虚部都要等于0

所以我们不妨设 $z_1%3D%5Ccos%5Calpha%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Calpha%EF%BC%8Cz_2%EF%BC%9D%5Ccos%5Cbeta%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Cbeta%EF%BC%8Cz_3%EF%BC%9D%5Ccos%5Cgamma%2B%5Crm%7Bi%7D%5Csin%5Cgamma$

那么条件就可以转化为 $z_1%EF%BC%8Bz_2%EF%BC%8Bz_3%EF%BC%9D0$ ，我们能够发现这个转化实际上非常巧妙，因为这样就将原题中的三个等式转化成了一个等式

不仅如此，根据棣莫弗公式得到我们只需证明 $z_%7B1%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B2%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B3%7D%5E2%EF%BC%9D0$ ，也是进行了极大的简化

然后根据恒等式

$z_%7B1%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B2%7D%5E2%EF%BC%8Bz_%7B3%7D%5E2%EF%BC%9D(z_1%EF%BC%8Bz_2%EF%BC%8Bz_3)%5E2%EF%BC%8D2(z_%7B1%7Dz_%7B2%7D%2Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%2Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D)$

可知我们只需证 $z_%7B1%7Dz_%7B2%7D%EF%BC%8Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%EF%BC%8Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D%EF%BC%9D0$ 即可，这个东西乍看之下不太好做，但是注意到 $z_%7B1%7D%E3%80%81z_%7B2%7D%E3%80%81z_%7B3%7D$ 都是单位复数，那么我们应该要用到 $z%5Cbar%7Bz%7D%EF%BC%9D1$ 这个性质，结合所求，我们不难想到提取 $z_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D$ ，得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0Az_%7B1%7Dz_%7B2%7D%2Bz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%2Bz_%7B3%7Dz_%7B1%7D%20%26%20%3Dz_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D%5Cleft(%5Cdfrac%7B1%7D%0A%7Bz_%7B1%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz_%7B2%7D%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bz_%7B3%7D%7D%5Cright)%5C%5C%0A%20%26%20%3Dz_%7B1%7Dz_%7B2%7Dz_%7B3%7D(%5Coverline%7Bz_1%2Bz_2%2Bz_3%7D)%5C%5C%0A%20%26%20%3D0%0A%5Cend%7Balign%7D$

到此证毕

此外，复数再证明一些三角恒等式中也大有帮助，因为根据欧拉公式可以得到

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%2Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%0A%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Be%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D-e%5E%7B%5Crm%7Bi%5Ctheta%7D%7D%7D%7B2%5Crm%7Bi%7D%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$