三角函数公式_3

在上期专栏里, 我们证明了正弦, 余弦, 正切的和角公式与差角公式, 下面, 我们利用这些公式, 继续推导其他的恒等式.

8. 倍角公式

默认情况下, "倍角公式", 是 "二倍角公式" 的简称.

在和角公式里, 令 α = θ, β = θ, 则

化简得:

其中, 余弦的倍角公式, 可变形为:

如果需要计算 3 倍角, 4 倍角等的三角函数, 只需在和角公式里, 代入不同的值.

9. 半角公式

利用余弦的倍角公式,

可以得到:

令  , 则

① ÷ ② 得:

注意, 半角公式的正负号, 需要根据角的范围来判断;

比如, 只利用 cos(30°), 计算 cos(15°), 那么

这里就不需要 "±" 了, 因为, 15°是锐角, cos(15°) 一定是正的.

如果是, 只用 cos(210°) 来求 cos(105°), 那么

由于 105° 是钝角, 它的余弦一定是负值, 所以直接写 "-".

另外, 正切的半角公式, 还可以变形:

我们注意,

这说明, tan θ 和 sin(2θ) 同号, 因此,

和 符号相同,

所以,

我们继续变形:

所以, 正切的半角公式, 有 3 种形式, 其中, 后 2 种绕过了正负号的判断.

10. 和差化积公式

根据正弦的和(差)角公式,

两式相加, 得

令 θ = α + β,  φ = α - β, 则

所以

将上式的 φ 变号, 得

以上是正弦的和差化积公式, 对于余弦, 推导方法类似.

11. 和角公式的应用

在和角公式里, 代入特殊角度, 可以推导出很多恒等式.

例如,

所以有

同理, 可证

再如

所以

同理有

于是,

上式表明, 相差 90° 的两个角, 它们的正切相乘等于 -1. 对应到直角坐标系里, 如果两条直线垂直, 且都存在斜率, 那么, 它们的斜率的乘积为 -1.

这些都是正向应用和角公式的例子; 当然, 这个公式也可以逆用.

设 ,

令

则

这说明, 点 (c, s) 在单位圆上,

因此,    满足

  且   

于是

右侧括号里, 是和角公式的展开, 所以

其中, 

φ 需要同时满足以下 2 个条件:

这叫 "辅助角公式", 用于求这类函数的值域.

下期预告:

三角函数的导数, 特殊角的三角函数.