我不容许有人在高考前还没做过这道【隐零点】导数压轴题！经典题目串讲导数！

21．(12分)已知函数f (x)＝ax2－ax－xln x，且f (x)≥0．

(1)求a；

(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e－2＜f (x0)＜2－2．

【解析】(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝ax－a－ln x，则f (x)＝xg(x)，f (x)≥0等价于g(x)≥0，

因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1．

若a＝1，则g′(x)＝1－．当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，故x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0．综上，a＝1．

(2)由(1)知f (x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，

设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－．当x∈(0，)时，h′(x)＜0；当x∈(，＋∞)时，h′(x)＞0．

故h(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．

又h(e－2)＞0，h()＜0，h(1)＝0，故h(x)在(0，)有唯一零点x0，在[，＋∞)有唯一零点，

且当x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当x∈(x0，1)时，h(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0．

因f ′(x)＝h(x)，故x＝x0是f (x)的唯一极大值点．

由f ′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f (x0)＝x0(1－x0)．

由x0∈(0，1)得f (x0)＜．因x＝x0是f (x)在(0，1)的最大值点，

由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得，f (x0)＞f (e－1)＝e－2．故e－2＜f (x0)＜2－2．