对于用来估计总体参数的样本函数在大样本中的标准误差问题的第一个普遍探讨，是由皮尔逊和年轻的法国数学证明者菲尔翁在“论频率常数的可能误差及随机选择对变异性和相关的影响”一文中给出的。皮尔逊后来发表了一组文章用来答复读者的询问。他导出χ2 在大样本中的取样分布是k的函数，发现它是类型三分布的特化形式，现称为“关于k一1自由度的χ2 分布”。 χ2 准则开创了统计决策的新纪元，它无疑是皮尔逊在统计理论和实践方面的最伟大贡献之一。1904年和1911年，皮尔逊又两次把他的χ2 准则加以推广，用来检验统计学的一些问题。

两个卡方分布之和，分两种情况讨论

也就是：

The reason is that our proof never used the assumption that they were integers, and thus the argument holds in greater generality. As this is such an important problem we’ll give the general proof.

还是采用卷积的方法：

作变量代换：

假设

代表图1中的积分部分，得出结果：

经过推理

的结果就等于自由度为（v1+v2）的卡方分布的系数：

由以上推导过程可以看出，非整数的两个卡方分布之和的密度函数的推导，先进行概率密度求和的运算，经过和运算的推导以后，根据结果，仍然得出它们的自由度可以合并的结论。

非整数的自由度应该只有数学上的意义。