就 高考一卷 题11. C.D.选项 一般性证明

设
P(x1,x1²/(2p))
Q(x2,x2²/(2p))
A(√(2pa),a)
B(0,-a)
抛物线
x²=2py
直线PQ
y=kx-a
有
x²=2p(kx-a)
即
x²-2pkx+2pa=0
即
x1+x2=2pk
x1x2=2pa
k²≥2a/p
有
x1²x2²
1+(x1²+x2²)/(4p²)+x1²x2²/(16p^4)
=
4p²a²
1+(4p²k²-4pa)/(4p²)+a²/(4p²)
≥
4p²a²
1+(8ap-4pa)/(4p²)+a²/(4p²)
=
4p²a²+4a³p+a^4
=
(2pa+a²)²
即
OP²·OQ²≥OA^4
即
OP·OQ≥OA²
有
x1²+(x1²/(2p)+a)²
x2²+(x2²/(2p)+a)²
=
4p²a²+4p²a²(4p²k²-4pa)/(4p²)
+4pa³+a²(4p²k²-4pa)
+a^4
+a³(4p²k²-4pa)/p
+4pa³+4a^4
+a³(4p²k²-4pa)/p
+a²((4p²k²-4pa)²-8p²a²)/(4p²)
+a^4
≥
4p²a²+16a³p
+16a^4
=
(2pa+4a²)²
即
BP²·BQ²≥BA^4
即
BP·BQ≥BA²
得证