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就 高考一卷 题11. C.D.选项 一般性证明

2022-06-10 19:18 作者:Mynasty  | 我要投稿


P(x1,x1²/(2p))    

Q(x2,x2²/(2p))   

A(√(2pa),a)

B(0,-a)

抛物线

x²=2py

直线PQ

y=kx-a

x²=2p(kx-a)

x²-2pkx+2pa=0

x1+x2=2pk 

x1x2=2pa

k²≥2a/p


x1²x2²

1+(x1²+x2²)/(4p²)+x1²x2²/(16p^4)

=

4p²a²

1+(4p²k²-4pa)/(4p²)+a²/(4p²)

4p²a²

1+(8ap-4pa)/(4p²)+a²/(4p²)

=

4p²a²+4a³p+a^4

=

(2pa+a²)²

OP²·OQ²≥OA^4

OP·OQ≥OA²


x1²+(x1²/(2p)+a)²

x2²+(x2²/(2p)+a)²

=

4p²a²+4p²a²(4p²k²-4pa)/(4p²)

+4pa³+a²(4p²k²-4pa)

+a^4

+a³(4p²k²-4pa)/p

+4pa³+4a^4

+a³(4p²k²-4pa)/p

+a²((4p²k²-4pa)²-8p²a²)/(4p²)

+a^4

4p²a²+16a³p

+16a^4

=

(2pa+4a²)²

BP²·BQ²≥BA^4

BP·BQ≥BA²


得证

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