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关于排列组合的A与C

2022-07-30 20:55 作者:扎之克  | 我要投稿

在我高中最后的时光里,数学老师教到排列组合,很遗憾,我没有学习完这部分知识,导致我一直不清楚这两个运算符是什么意思,直到今天,突然明白它们的意义与计算方法。

首先引入计算符A(n,m)来表示某种排列组合问题的解:

有5个数字1、2、3、4、5,任意选3个不重复的数字组成一个序列,这样的序列有多少?

这个问题很简单,第一位数字有5种选择,由于不能选重复的数字,第二位数字只有4种选择,第3位只有3种选择了,所以总共有5x4x3=60个序列。

A(3,5)可以表示这个问题的解

从5个里面选3个

A(3,5)可以用阶乘来表示

等于号忘加了


接下来引入C来表示另一种排列组合问题的解:

这问题和第一个问题类似,同样是5选3,不同的是我们将所含数字相同的看成是一样的,比如123、231这两个选取我们会视为相同的选取。

这个问题的解用C(3,5)来表示

C(3,5)是多少?我们从A(3,5)对应的60个中剔除掉重复的就行,哪一些是重复的?

像123、213、321.....这些在此问题中都视为重复的,它们所含的数字是一样的但是排列不同

三个数字总共能有多少排列?答案是A(3,3)=3x2x1=6,

所以C(3,5)=A(3,5)/A(3,3)=10


这儿还有一些简单的性质

C(n,m)=C(m-n,m)

比如说5个选3个和5个留下2个是一样的

A(m,m)=A(m-1,m)

比如5选4,选了4个,最后1个就是确定的

狭义的二项式定理
狭义的二项式定理是指 求(a+b)^n展开后的项系数的公式,其中n为正整数,来讨论一下二项式定理的推导过程,

在实数乘法的运算律下,这是一个排列组合问题,这个问题本质上和“抛n次硬币,求某种特定结果在所有结果中的占比”是一样的,两个问题用的公式是一样的,后者求出来那叫二项分布,这可能是它叫二项式定理的原因之一。

接下来给出两种推导过程,在此之前,我们可以先将问题具体化:求(a+b)^5展开后a^2*b的系数。

第一种(用C):

2个a位置已经蕴含了b的位置,所以我们只要看选2个a有多少种选法就行。

5选2无关排列,所以答案是C(2,5)

matlab计算(a+b)^5展开式结果

第二种(不用C,画蛇添足版)

标红表示在这里选a

上图的选法我们可以写成ababb,还可以这样选:aabbb、abbba......,其他的选法和原来的只有排列不同。aabbb有5个元素,总共有A(5,5)个排列(置换),但是像a与a或b与b之间的置换也被包含在A(5,5)中,所以我们要剔除这种重复的,2个a有A(2,2)个排列,3个b有A(3,3)种排列,所以答案是A(5,5)/(A(2,2)*A(3,3))=10

答案



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