对称问题的奇葩解法

这是个时光飞逝的一年，很多往事犹如发生在昨日，初中时代，早已不复存在，但当年做过的那些典型题居然记忆犹新，美妙的日子，对称的年份那就谈谈对称的问题吧！

    初高中遇到过很多类似的问题，像已知x等于多少多少，求什么xy+yz+xz或者求x+1/x或者是几次幂的情况这类对称式问题

例如山东省中考题：

(1)已知x+y=1，x²+y²=2，求x^7+y^7

或者是那些竞赛题：

(2)已知x+1/x=3，求x^6+1/x^6

(3)已知x+1/x=3，求x^10+x^5+1/x^5+1/x^10

(4)已知x=√(5+√5), y=√(5-√5), 求x^6+y^6

还有更奇葩的，没有根让你求等式值

如全国初中竞赛题：

(5)已知x²+x+1=0，求x^14+1/x^14

    很多出题人就是和倒数过不去，今天举几个例子来告诉大家解这类题的套路吧，望同学们以后活学活用，举一反三。对称的式子可以按照正常套路来解，x与倒数的和，平方之后变成x²与x²倒数的和再加上一个确定的数，利用它来解，但这个性质只能产生平方，想得到奇次方怎么办呢？

    可以用平方式乘以和式，当然要结合立方和公式才有效，如

(x²-1+1/x²)(x+1/x)=x³+1/x³，x²+1/x²可算出，x+1/x已给出，这样x³+1/x³就能求出，那4次方呢？没啥公式了，就是把平方式再平方罢了，如果想求更多次数，要充分利用平方式，立方式或者4次方式。

    题(2)中，6次可以用x³+1/x³的平方，结果是322。题(3)可以先求出x^5+1/x^5，先不管5次怎么求的，相信这类题总能求出x^k与其倒数和，再平方就可算出x^10+1/x^10，知道结果再回头研究怎么算x^5+1/x^5，其实可以用(x²+1/x²)乘以(x³+1/x³)，展开后存在最原始的x+1/x，其他都这策略，将两个对称的式子相乘，总存在曾经算过的低次式，一顿化简就能算出所求式子。

    偷偷地告诉你，任意奇数次和的公式都类似立方和，有兴趣的朋友自己可以试试，我就不提公式了，太长太闹心，这里只看策略……

    题(3)所求等于123+15127=15250，过程自己完成吧！

    下面重点来了，题(4)不一样，要自己拓展啊，可以看出平方关系很简单x²+y²=10，x²y²=20，只是将乘积变成20了，我们知道倒数的乘积是1，变换下形态就行了！答案是400。题(5)原理是一样的，只是变了个方程式，因为当x=0时等式不成立，其实这题x等于几都不对，总之更不是0了，两边同时被x除，可以求出来x+1/x=-1，14=8+6，可以用8次式乘以6次式来算，或者用7次和公式（类似立方和），然后平方，看看怎么简单吧，记得要分步啊，低次式用途广，事先算出才简单，会发现它有周期的，居然答案是-1，愁人不？

     最后，题(1)就留给你自己解决吧，答案是8.875，算对了么？

     这类题就按对称算未免太平常了，UP主搞数学本着大开脑洞的原则，推荐大家一个机械的做法，不过不同问题化简成套路模式还需要灵活掌握的。

    小时候很多思考题要找规律的，像1, 3, 5, 7,…，我说第k个数为ak，那么可得

ak=ak-1+2，很简单吧，再举个例子，1, 3, 9, 27,…，可以说ak=3ak-1，再难些，1, 5, 7, 17, 31, 65,…，规范地说应该是ak=ak-1+2ak-2，与前面两项有关系，做数学题多的同学会发现，这里ak=(-1)^k+2^k，而-1和2正好是方程x²=x+2的两个根，与递推公式一致，可以告诉你，所有的幂次和都能按照某个方程形式的递推公式来计算，但得保证初始值满足一定条件才行，不同初始值会产生一些系数，就得我们自己规定了，简单来说就是把ak写成x1^k+x2^k的形式，最后求ak就OK了，但前提是没有重根才行，一般题都是没重根的，如果有重根是啥样呢？那就变成ak=f(k)x0^k某某形式了，这里高于二次的特征方程也成立哦，重根数如果是m，那么f(k)的次数是m-1，高于二次的题比较少，这里只拿二次做例子了，若有重根，例如，2, 0, -8, -32, -96, -256, …，递推公式是ak=4ak-1-4ak-2，对应的特征方程是x²=4x-4，有二重根x=2，而ak=(2-k)2^k。

    明白没？下面按照这个套路来算那几题

● 题(5) 将x与1/x看作是两个根，化简可知 x+1/x=-1, x与倒数的积一定是1，那么数列的特征方程就是x²+x+1=0, x²=-x-1，有 ak=-ak-1-ak-2，想让ak=x^k+1/x^k, 首先让a0=2，a1=x+1/x=-1,然后开始递推算了

x+1/x=-1; x²+1/x²=1-2=-1; x³+1/x³=1-(-1)=2; 

x^4+1/x^4=-2-(-1)=-1; x^5+1/x^5=1-2=-1; x^6-1/x^6=1-(-1)=2;

不算了，发现规律，-1,-1,2循环，那么x^14+1/x^14=-1

但奇葩题就是不严密，哪有偶次和是-1的？

● 题(4) 需要转换一下，复合根式比较复杂，平方关系还不错，把两根当作是x²与y²，易知x²+y²=10, x²y²=20，有特征方程为t²-10t+20=0，那么ak=10ak-1-20ak-2，自定义初始值，a0=2，a1=10，求出a3即可

x²+y²=10; x^4+y^4=100-40=60; x^6+y^6=600-200=400

● 题(3) 很正常了，x与1/x和是3，积是1，两根依然是x与1/x，特征方程为x²-3x+1=0, x²=3x-1, ak=3ak-1-ak-2, a0=2, a1=3，先算到a5

x+1/x=3; x²+1/x²=9-2=7; x³+1/x³=21-3=18; x^4-1/x^4=54-7=47; x^5+1/x^5=141-18=123; 

可以继续再算到a10，不过根据5次和可以推出来10次的，类似题(4)，将x^5和1/x^5看作是两个根，方程为t²-123t+1=0，求出第二项即可

x^10+1/x^10=123*123-2=15127，最后结果为123+15127=15250

● 题(2) 最标准，因为方程和题(3)一样就不赘述了，再往后算一项即可

x^6+1/x^6=369-47=322，当然也可以仿造题(3)算到平方那，然后将两根看作x²和1/x²，很多大开脑洞的套路大家自己挖掘吧

题(1)不用说了，自己完成吧！

    会了没？弄明白就会发现这类问题还是很可爱的，大声说520，愿美好与你相伴！