留意“恒正值”（2021全国甲（文）导数）

2022-09-26 12:17 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2021全国甲文，20）设函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Da%5E2x%5E2%2Bax-3%5Cln%20%20x%2B1$ ，其中 $a%3E0$ .

（1）讨论 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的单调性；

（2）若 $y%3Df%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围.

解：（1）求导，得

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%26%3D2a%5E2x%2Ba-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%20ax-1%20%5Cright)%20%5Cleft(%202ax%2B3%20%5Cright)%7D%7Bx%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

令 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，得 $x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D$ ，

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%20%7D$ , $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ , $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ;

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ , $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ , $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ .