【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep148】Bolzano-Cauchy第一定理证明（2）

80关于函数取零值的性质

a.引理

引理（局部保号性）：若函数f(x)在点x=x0处为连续，且f(x0)的数值异于零，则对于充分接近于x0的一切x的数值，函数f(x)仍保持着在点x0处的符号。

b.证明

Bolzano-Cauchy第一定理：函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续，又在这区间的两端点处取得异号的数值。则在a与b之间必能取出一点c，在这点处函数等于零。

即——

1. 函数f(x)在闭区间[a,b]内定义且连续；

2. f(a)f(b)<0；

3. ∃c∈[a,b]，f(c)=0。

证明：