On Electromagnetic Energy

2020-03-22 20:17 作者:露保协 0人读过 | 我要投稿

关于电磁场的能量问题，说起来贯穿电磁学的各个层面（从电磁学的练习题到电动力学本身的自洽性），而且经常引出一些佯谬。本文对于这个主题做一些讨论。

Remark: 如果是纯电磁场，理论很漂亮。但是一旦涉及粒子，经典的电磁理论就会出现一系列问题。所以特别要注意区分这两者。

首先不去管物理含义，单纯从数学上推导一下电磁场的能量。基于四条Maxwell方程和一条Lorentz力公式，我们希望得到这样一个连续性方程：

w是能量密度，S是能量流密度，f*v是对电荷做功。这个连续性方程刻画的是：电磁场的能量通过驱使电荷运动转化为机械能。

为了得到这样一个方程，注意到f*v=j*E，然后把j代到Maxwell方程里边就完事了。过程自己算一下就知道了，略去。结果是：

Remark:

S称为Poynting矢量。只有电场和磁场同时存在的时候才会有能流。
能量密度和能流密度都是二次的，不能叠加。
公式很简单，放在上一篇文章里属于第二层，仍然是最普适的公式，用于分析各种物理情形都是有用的。
回想一下这个公式是怎么推出来的，我们发现是把一个守恒量定义成了能量，但是这个形式并不一定是唯一的。我们可能能找到别的w和S同样满足连续性方程。
从数学上来看，一切都来源于Maxwell方程+Lorentz力+连续性方程。所以如果对于能量密度这个概念产生任何疑惑/困扰，最终都要回到连续性方程上来理解。举个例子，把一个充着电的平行板电容器拉开，电磁场能量少了。去哪了？根据连续性方程，一定是电场力驱使着一些电子跑起来，变成动能了。进一步，这些动能又通过电源转化成了化学能。而这部分化学能不仅有原来的电磁能，还有拉力做的功。这样能量转化才清楚。
能量重要的不是绝对值是多少，而是改变了多少。所以这里重要的其实是

只有它有物理意义。

对于介质中的电磁场能量，需要搞清楚这样一个道理：之前的公式没有错！之前的公式是基于最普适的原理推出来的，任何情况下都是对的，不管是介质，还是金属，还是半导体...都是对的。所以说，介质中又静电场E，能量密度是多少？就是\epsilon_0/2 E^2。

然而！介质的极化和磁化也需要能量，这部分能量可以单独计算，也可以归并到电磁能里边。就像介质Maxwell方程一样，你可以单独计算E和P，但是为了方便，不去单独考虑束缚电荷，也可以归并到D里面，这样就只需要研究自由电荷了。

利用介质Maxwell方程一样的推理，结论是：

形式也是非常的简单。但是要注意，这是“归并”（了极化和磁化的能量）之后的电磁场能量，“纯”的电磁场能量依旧是

如果用纯电磁场能量的公式，就必须要考虑极化和磁化的能量。如果容归并形式，就不用考虑极化和磁化的能量变化。二者计算出的结果必然是一样的。

作为四维张量的分量，能量和动量是一体的。我们自然也可以讨论电磁场的动量。

一样，我们希望得到这样一个连续性方程：

其中g是动量密度，\mathcal{T}是动量流密度，是一个二阶张量（比如说，x方向的动量在y方向的变化）。结论是：

注意到动量密度和能流密度成正比。动量指向哪个方向，能量就怎么流。

电磁场的动量可以导致光压；对于介质，也可以写出动量密度和动量流密度。这两点姑且不多谈，毕竟这只是电磁学笔记。

电磁场能量的物理意义到底是什么？

【1】我们经常说，静电场中，一个电荷的电势能是qU。这和前面的公式是什么关系？其实是一个特例罢了。下面证明之。

假设在一个静电场（用电势\Phi(x)刻画）中，有一个试探电荷（其电量很小，当作一个小量，忽略掉二阶项），放在原点，求这个试探电荷的电能。代入公式：

这是因为，E^2作为高阶小量略去，\nabla\Phi^2是一个常数可以直接略去。接下来，

就证明完毕了。

【2】静电能不是集中在电荷上的，而是弥散在电场里面的。我们说的电荷的能量（当然指的是电磁能，不包括机械能），其实就是它弥散的电磁场的能量。而w公式是最普适的公式，适用于所有情况，不限于静电场。之前所有能量公式都是它的特例。

这和我们高中时候的认知是不同的。以前我们觉得qU就是电荷的电场能，跟动能一样，就是这个电荷上的东西。但是现在我们知道，qU是弥散在整个空间中的。

【3】总结来说，w的物理意义到底是什么？如果是纯电磁场，那么很好理解，就是场的能量。如果是粒子，它代表粒子的电磁场的能量，也就是平时所说的粒子的电能，这个电能不是局域在粒子上，而是弥散的。

下面计算一些电容的例子，加深理解。

【例子1】电容器充电。用一个电源给平行板电容充电直到达到电压U。这个过程的能量转化是怎样的？

首先我们要搞清楚电源，或者说电动势，到底是个什么玩意儿。电动势就是克服电场作用强行逆向搬运电子，定义为搬运单位电荷的非静电力做功。所以单位和电压一样，但是物理意义和电压完全不一样。它可以想像成用镊子强行把一个个电荷逆着电场夹过去，这就是一个机械的电动势；可以是通过氧化还原，这就是一个化学的电动势。总之用\mathcal{E}这个参数表示这个电动势的搬运能力。

放在电磁学里面，一言以蔽之，它就是一个“特定性假设”：有这样一个机械，能够将某种能量（通常是化学能）通过搬运电荷转化为电荷的电磁能/机械能：

通过q的电荷，做功这么多。它加上Maxwell方程就可以解决问题了。

回到我们的问题。如果直接用w公式算，结果是

如果用qU算，W=\int U(q)dq，结果还是

两种方法算出来的结果当然是一样的，因为qU和w就是一回事。同时也说明，电容器所谓的储存电能，指的就是储存在极板之间的电场上面，而其实不是储存在两个极板上。

但是我们发现一个问题。电动势搬运电荷做的功为

那剩下的

能量哪去了？没有别的去处，那它只能变成内能。这个电路必然是有电阻的，电流通过它的时候就恰好产生

这么多的内能。

Remark: 在这个例子中，所谓无电阻的理想电路这个假设是会出问题的（R=0,I=\infty）。只有引入电阻能够解决这部分能量哪去了的问题。

【例子2】（Two capacitor paradox）这是个有名的paradox。

一开始左边的电容充电了，右边没充。静电能为1/2 CU^2。

现在闭合开关，总的静电能为1/4 CU^2。

问题来了：剩下一半的静电能哪去了？

和上一题一样，如果有电阻，它就转变成了内能。如果没有电阻，电荷会一直振荡，总的能量不变，不会达到稳态。如果能够作为天线辐射能量，那么还有一部分能量会被辐射走。

【例子3】拉开电容。一个电容，接着电源\mathcal{E}，现在手动把d拉开变成2d，求这个过程中的能量转化？

一开始，电极板上带有的电荷为\epsilon_0US/d。后来减小为\epsilon_0US/(2d)。一开始的能量为\epsilon_0U^2S/(2d)，后来变成\epsilon_0U^2S/(4d)。根据我们之前的阐释，这部分电磁能对电子做功，转化为了电子的动能（有\epsilon_0U^2S/(4d)），于是电子跑了起来，反着通过电源，动能转化成了\epsilon_0U^2S/(2d)的化学能。

动能只有\epsilon_0U^2S/(4d)，怎么会变成\epsilon_0U^2S/(2d)的化学能？多出来的部分来自于外力做功多给电子的\epsilon_0U^2S/(4d)这么多动能。外力做功可以这样计算：